Упр.804 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) y = (x^3 + 4x^2 — 5x)/x;
2) y = (x^3 + 8)/(x + 2) — 3;
3) y = (x^4 — 1)/(x^2 — 1);
4) y = (x^4 — 14x^2 + 36)/(x^2 — 9). Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (аn), если а5 + а10 + а12 + а15 = 50.

1. $$y=\frac{x^3+4x^2-5x}{x}=x^2+4x-5,\quad x\ne 0.$$

   Это парабола $$y=x^2+4x-5$$ с выколотой точкой при $$x=0$$. Координаты вершины:

   $$x_0=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,\qquad y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)-5=-9.$$

   Вершина параболы: $$(-2;\,-9)$$.

2. $$y=\frac{x^3+8}{x+2}-3=\frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x+2}-3=x^2-2x+4-3=x^2-2x+1,$$

   $$y=(x-1)^2,\quad x\ne -2.$$

   Это парабола $$y=(x-1)^2$$ с выколотой точкой при $$x=-2$$. Вершина:

   $$x_0=1,\qquad y_0=0.$$

   Вершина параболы: $$ (1;\,0) $$.

3. $$y=\frac{x^4-1}{x^2-1}=\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2-1}=x^2+1,\quad x\ne \pm 1.$$

   Это парабола $$y=x^2+1$$ с выколотыми точками при $$x=\pm 1$$. Вершина:

   $$x_0=0,\qquad y_0=1.$$

   Вершина параболы: $$ (0;\,1) $$.

4. $$y=\frac{x^4-14x^2+36}{x^2-9}=\frac{(x^2-9)(x^2-4)}{x^2-9}=x^2-4,\quad x\ne \pm 3.$$

   Это парабола $$y=x^2-4$$ с выколотыми точками при $$x=\pm 3$$. Вершина:

   $$x_0=0,\qquad y_0=-4.$$

   Вершина параболы: $$ (0;\,-4) $$.

Найдём сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если $$a_5+a_{10}+a_{12}+a_{15}=50.$$

По формуле $$a_n=a_1+d(n-1)$$ получаем:

$$a_5=a_1+4d,\quad a_{10}=a_1+9d,\quad a_{12}=a_1+11d,\quad a_{15}=a_1+14d.$$

Тогда

$$ (a_1+4d)+(a_1+9d)+(a_1+11d)+(a_1+14d)=50 $$

$$ 4a_1+38d=50 $$

$$ 2a_1+19d=25. $$

Теперь найдём $$a_{20}$$:

$$a_{20}=a_1+19d.$$

Сумма первых двадцати членов:

$$ S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot 20 =\frac{2a_1+19d}{2}\cdot 20 =25\cdot 10 =250. $$

Ответ

1) $$y=x^2+4x-5,\ x\ne 0$$; вершина $$(-2;\,-9)$$.

2) $$y=(x-1)^2,\ x\ne -2$$; вершина $$(1;\,0)$$.

3) $$y=x^2+1,\ x\ne \pm 1$$; вершина $$(0;\,1)$$.

4) $$y=x^2-4,\ x\ne \pm 3$$; вершина $$(0;\,-4)$$.

$$S_{20}=250.$$