Упр.802 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите коэффициенты а, b и с. Разность арифметической прогрессии равна 28, а сумма пяти первых членов в 4 раза меньше суммы следующих шести членов.
Чему равен первый член прогрессии?

Подробный ответ

Рассмотрим квадратичную функцию $$y=ax^2+bx+c.$$
Так как при $$x=-1$$ значение функции равно $$0$$, получаем:
$$a-b+c=0.$$
При $$x=\frac14$$ функция принимает наименьшее значение $$-\frac{25}{8}$$, значит, вершина параболы имеет координаты $$\left(\frac14,-\frac{25}{8}\right).$$
Абсцисса вершины:
$$-\frac{b}{2a}=\frac14,$$
откуда
$$b=-\frac{a}{2}.$$
Подставим это в уравнение $$a-b+c=0$$:
$$a+\frac{a}{2}+c=0,$$
$$c=-\frac{3a}{2}.$$
Теперь используем значение функции в вершине:
$$a\left(\frac14\right)^2+b\left(\frac14\right)+c=-\frac{25}{8}.$$
Подставим $$b=-\frac{a}{2}$$ и $$c=-\frac{3a}{2}$$:
$$\frac{a}{16}-\frac{a}{8}-\frac{3a}{2}=-\frac{25}{8}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{a-2a-24a}{16}=-\frac{25}{8},$$
$$-\frac{25a}{16}=-\frac{25}{8},$$
$$a=2.$$
Тогда
$$b=-\frac{a}{2}=-1,\qquad c=-\frac{3a}{2}=-3.$$
Пусть первый член арифметической прогрессии равен $$a_1$$, а разность $$d=28.$$
Сумма первых пяти членов:
$$S_5=\frac{5}{2}\bigl(2a_1+4d\bigr).$$
Сумма следующих шести членов — это $$S_{11}-S_5$$, и по условию:
$$S_5=\frac14(S_{11}-S_5).$$
Тогда
$$4S_5=S_{11}-S_5,$$
$$5S_5=S_{11}.$$
Используем формулу суммы:
$$5\cdot \frac{5}{2}(2a_1+4d)=\frac{11}{2}(2a_1+10d).$$
Умножим на 2:
$$25(2a_1+4d)=11(2a_1+10d).$$
Подставим $$d=28$$:
$$25(2a_1+112)=11(2a_1+280).$$
$$50a_1+2800=22a_1+3080,$$
$$28a_1=280,$$
$$a_1=10.$$