Упр.801 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Чему равна разность прогрессии?

1) Пусть парабола имеет вид $$y=ax^2+bx+c.$$

Так как она проходит через точку $$\left(0;10\right),$$ то

$$10=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c,$$

откуда $$c=10.$$

Координата вершины по оси $$x$$ равна

$$x_0=-\frac{b}{2a}=6,$$

значит

$$b=-12a.$$

Подставим координаты вершины $$\left(6;-2\right)$$ в уравнение параболы:

$$-2=a\cdot 6^2+b\cdot 6+10.$$

С учётом $$b=-12a$$ получаем:

$$-2=36a-72a+10,$$

$$-2=-36a+10,$$

$$-12=-36a,$$

$$a=\frac13.$$

Тогда

$$b=-12\cdot \frac13=-4.$$

Следовательно, $$a=\frac13,\; b=-4,\; c=10.$$

2) Для арифметической прогрессии $$a_1=100.$$ По условию сумма шести первых членов в 5 раз больше суммы следующих шести членов:

$$S_6=5\left(S_{12}-S_6\right).$$

Используем формулу суммы первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Тогда

$$S_6=\frac{2\cdot 100+5d}{2}\cdot 6=(200+5d)\cdot 3,$$

$$S_{12}=\frac{2\cdot 100+11d}{2}\cdot 12=(200+11d)\cdot 6.$$

Подставим в условие:

$$ (200+5d)\cdot 3=5\left((200+11d)\cdot 6-(200+5d)\cdot 3\right). $$

Упростим:

$$600+15d=5(600+66d-600-15d),$$

$$600+15d=5(51d+600),$$

$$600+15d=3000+255d,$$

$$-240d=2400,$$

$$d=-10.$$

Ответ

$$a=\frac13,\; b=-4,\; c=10;\quad d=-10.$$