Упр.800 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Проходит ли этот график через точку:
1) С(-1; -1);
2) D(3; 5)?
Сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 39, а сумма первых четырнадцати членов равна -77.
Найдите первый член и разность прогрессии.

1) Пусть функция имеет вид $$y=x^2+px+q.$$

Так как график проходит через точку $$A(1;1),$$ подставим её координаты:

$$1=1^2+p\cdot 1+q,$$

$$p+q=0.$$

Так как график проходит через точку $$B(2;2),$$ получаем:

$$2=2^2+2p+q,$$

$$2=4+2p+q,$$

$$2p+q=-2.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} p+q=0,\\ 2p+q=-2. \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$p=-2,$$

$$q=2.$$

Значит, $$y=x^2-2x+2.$$

Проверим точки.

Для $$C(-1;-1):$$

$$y=(-1)^2-2\cdot(-1)+2=1+2+2=5.$$

Получили $$5\neq -1,$$ значит, график через точку $$C$$ не проходит.

Для $$D(3;5):$$

$$y=3^2-2\cdot 3+2=9-6+2=5.$$

Получили нужное значение, значит, график через точку $$D$$ проходит.

2) Для арифметической прогрессии используем формулу суммы первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

Из условия:

$$S_6=39,$$

$$S_{14}=-77.$$

Составим уравнения:

$$ \frac{6}{2}(2a_1+5d)=39, $$

$$ \frac{14}{2}(2a_1+13d)=-77. $$

Упростим:

$$ 2a_1+5d=13, $$

$$ 2a_1+13d=-11. $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$8d=-24,$$

$$d=-3.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2a_1+5\cdot(-3)=13,$$

$$2a_1-15=13,$$

$$2a_1=28,$$

$$a_1=14.$$

Ответ

1) $$C(-1;-1)$$ — не проходит; $$D(3;5)$$ — проходит.

2) $$a_1=14,\ d=-3.$$