Упр.800 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. График функции $$y=x^2+px+q$$ проходит через точки $$A(1;1)$$ и $$B(2;2)$$. Проходит ли этот график через точку: 1) $$C(-1;-1)$$; 2) $$D(3;5)$$?
2. Сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна $$39$$, а сумма первых четырнадцати членов равна $$-77$$. Найдите первый член и разность прогрессии.

1) Пусть функция имеет вид $$y=x^2+px+q.$$

Так как график проходит через точку $$A(1;1),$$ подставим её координаты:

$$1=1^2+p\cdot 1+q,$$

$$p+q=0.$$

Так как график проходит через точку $$B(2;2),$$ получаем:

$$2=2^2+2p+q,$$

$$2=4+2p+q,$$

$$2p+q=-2.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} p+q=0,\\ 2p+q=-2. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$p=-2,$$

$$q=2.$$

Значит, $$y=x^2-2x+2.$$

Проверим точки.

Для $$C(-1;-1):$$

$$y=(-1)^2-2\cdot(-1)+2=1+2+2=5.$$

Получили $$5\neq -1,$$ значит, график через точку $$C$$ не проходит.

Для $$D(3;5):$$

$$y=3^2-2\cdot 3+2=9-6+2=5.$$

Получили нужное значение, значит, график через точку $$D$$ проходит.

2) Для арифметической прогрессии используем формулу суммы первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

Из условия:

$$S_6=39,$$

$$S_{14}=-77.$$

Составим уравнения:

$$\frac{6}{2}(2a_1+5d)=39,$$

$$\frac{14}{2}(2a_1+13d)=-77.$$

Упростим:

$$2a_1+5d=13,$$

$$2a_1+13d=-11.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$8d=-24,$$

$$d=-3.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2a_1+5\cdot(-3)=13,$$

$$2a_1-15=13,$$

$$2a_1=28,$$

$$a_1=14.$$

Ответ

1) $$C(-1;-1)$$ — не проходит; $$D(3;5)$$ — проходит.

2) $$a_1=14,\ d=-3.$$