Упр.80 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Известно, что a>12 и b<-4. Докажите, что 5a-6b>84. Докажите, что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы его диагоналей.

1) Так как $$a>12,$$ то после умножения на $$5$$ получаем $$5a>60.$$

Так как $$b<-4,$$ то после умножения на $$6$$ имеем $$6b<-24,$$ значит $$-6b>24.$$

Тогда

$$5a-6b>60+24=84.$$

Следовательно, $$5a-6b>84.$$

2) Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются в точке $$O.$$ Тогда в треугольниках $$AOB,$$ $$BOC,$$ $$COD,$$ $$DOA$$ по неравенству треугольника:

$$AB<AO+BO,$$

$$BC<BO+OC,$$

$$CD<CO+OD,$$

$$AD<AO+OD.$$

Сложим неравенства для противоположных сторон:

$$AB+CD<(AO+BO)+(CO+OD),$$

$$BC+AD<(BO+OC)+(AO+OD).$$

В правых частях обеих неравенств стоит одна и та же сумма:

$$AO+BO+CO+OD=AC+BD,$$

так как $$AO+OC=AC,$$ а $$BO+OD=BD.$$

Значит,

$$AB+CD<AC+BD,$$

$$BC+AD<AC+BD.$$

То есть сумма каждой пары противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы его диагоналей.

Ответ

$$5a-6b>84.$$ Сумма двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы его диагоналей.