Упр.799 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) имеет с осью абсцисс только одну общую точку;
2) не имеет с осью абсцисс общих точек;
3) пересекает ось абсцисс в точках, расстояние между которыми равно 4? Найдите сумму членов арифметической прогрессии (хn) с десятого по двадцать пятый включительно, если x1 = —3 и x11 = 12.

Рассмотрим функцию $$y=x^2+bx+2.$$

1. График имеет с осью абсцисс только одну общую точку, если уравнение $$x^2+bx+2=0$$ имеет один корень, то есть $$D=0.$$

   $$D=b^2-4\cdot 1\cdot 2=b^2-8.$$

   $$b^2-8=0,$$

   $$b^2=8,$$

   $$b=\pm 2\sqrt2.$$

2. График не имеет общих точек с осью абсцисс, если уравнение $$x^2+bx+2=0$$ не имеет корней, то есть $$D<0.$$

   $$b^2-8<0,$$

   $$b^2<8,$$

   $$-2\sqrt2<b<2\sqrt2.$$

3. Пусть корни уравнения $$x^2+bx+2=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2,$$ причём $$x_2-x_1=4.$$

   По теореме Виета:

   $$x_1+x_2=-b,\qquad x_1x_2=2.$$

   Положим $$x_1=t,$$ тогда $$x_2=t+4.$$ Получаем:

   $$t(t+4)=2,$$

   $$t^2+4t-2=0.$$

   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-2)=16+8=24,$$

   $$t=\frac{-4\pm\sqrt{24}}{2}=-2\pm\sqrt6.$$

   Тогда

   $$b=-(x_1+x_2)=-(2t+4).$$

   Если $$t=-2+\sqrt6,$$ то $$b=-2\sqrt6.$$

   Если $$t=-2-\sqrt6,$$ то $$b=2\sqrt6.$$

Найдём сумму членов арифметической прогрессии $$x_n$$ с десятого по двадцать пятый включительно, если $$x_1=-3$$ и $$x_{11}=12.$$

Сначала найдём разность прогрессии:

$$x_{11}=x_1+10d$$

$$12=-3+10d$$

$$10d=15,$$

$$d=1{,}5.$$

Тогда

$$x_{10}=x_1+9d=-3+9\cdot 1{,}5=10{,}5,$$

$$x_{25}=x_1+24d=-3+24\cdot 1{,}5=33.$$

Сумма членов с десятого по двадцать пятый:

$$S=\frac{x_{10}+x_{25}}{2}\cdot (25-10+1)$$

$$S=\frac{10{,}5+33}{2}\cdot 16$$

$$S=348.$$

Ответ

1) $$b=\pm 2\sqrt2$$; 2) $$-2\sqrt2<b<2\sqrt2$$; 3) $$b=\pm 2\sqrt6$$; $$348$$.