Упр.797 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график данной функции, найдите её область значений, промежутки возрастания и убывания:
   1) $$y=-2x^2+1$$;
   2) $$y=0{,}5x^2-2$$;
   3) $$y=x^2+6x+5$$;
   4) $$y=4x-x^2$$;
   5) $$y=-x^2+4x-3$$;
   6) $$y=x^2-4x+5$$;
   7) $$y=2x^2-3x-2$$;
   8) $$y=-3x^2+8x+3$$.
2. Сумма нечётных номеров страниц книги является нечётным числом, большим 400 и меньшим 500. Сколько страниц в книге?

1. 1) $$y=-2x^2+1$$

   Вершина параболы: $$x_0=0,\; y_0=1.$$

   Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицательный, ветви направлены вниз.

   Область значений: $$E(y)=(-\infty;1].$$

   Возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty).$$

2. 2) $$y=0{,}5x^2-2$$

   Вершина: $$x_0=0,\; y_0=-2.$$

   Ветви направлены вверх.

   Область значений: $$E(y)=[-2;+\infty).$$

   Убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty).$$

3. 3) $$y=x^2+6x+5$$

   Найдём вершину параболы:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot 1}=-3,$$

   $$y_0=(-3)^2+6\cdot(-3)+5=9-18+5=-4.$$

   Область значений: $$E(y)=[-4;+\infty).$$

   Убывает на $$(-\infty;-3]$$, возрастает на $$[-3;+\infty).$$

4. 4) $$y=4x-x^2$$

   $$y=-x^2+4x.$$

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,$$

   $$y_0=4\cdot 2-2^2=8-4=4.$$

   Область значений: $$E(y)=(-\infty;4].$$

   Возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;+\infty).$$

5. 5) $$y=-x^2+4x-3$$

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,$$

   $$y_0=-2^2+4\cdot 2-3=-4+8-3=1.$$

   Область значений: $$E(y)=(-\infty;1].$$

   Возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;+\infty).$$

6. 6) $$y=x^2-4x+5$$

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2,$$

   $$y_0=2^2-4\cdot 2+5=4-8+5=1.$$

   Область значений: $$E(y)=[1;+\infty).$$

   Убывает на $$(-\infty;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty).$$

7. 7) $$y=2x^2-3x-2$$

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot 2}=\frac34,$$

   $$y_0=2\left(\frac34\right)^2-3\cdot\frac34-2=\frac98-\frac94-2=-\frac{25}{8}.$$

   Область значений: $$E(y)=\left[-\frac{25}{8};+\infty\right).$$

   Убывает на $$(-\infty;\frac34]$$, возрастает на $$[\frac34;+\infty).$$

8. 8) $$y=-3x^2+8x+3$$

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot(-3)}=\frac43,$$

   $$y_0=-3\left(\frac43\right)^2+8\cdot\frac43+3=-\frac{16}{3}+\frac{32}{3}+3=\frac{25}{3}.$$

   Область значений: $$E(y)=\left(-\infty;\frac{25}{3}\right].$$

   Возрастает на $$(-\infty;\frac43]$$, убывает на $$[\frac43;+\infty).$$

Сумма нечётных номеров страниц образует арифметическую прогрессию $$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2.$$

По условию:

$$400<n^2<500.$$

Отсюда:

$$20<n<\sqrt{500}\approx 22{,}36,$$

значит, $$n=21.$$

Тогда число страниц в книге:

$$2n=42.$$

Ответ

1) $$E(y)=(-\infty;1]$$, возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty).$$
2) $$E(y)=[-2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty).$$
3) $$E(y)=[-4;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-3]$$, возрастает на $$[-3;+\infty).$$
4) $$E(y)=(-\infty;4]$$, возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;+\infty).$$
5) $$E(y)=(-\infty;1]$$, возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;+\infty).$$
6) $$E(y)=[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty).$$
7) $$E(y)=\left[-\frac{25}{8};+\infty\right)$$, убывает на $$(-\infty;\frac34]$$, возрастает на $$[\frac34;+\infty).$$
8) $$E(y)=\left(-\infty;\frac{25}{3}\right]$$, возрастает на $$(-\infty;\frac43]$$, убывает на $$[\frac43;+\infty).$$
Число страниц в книге: $$42$$.