Упр.796 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) имеет единственный нуль в точке х = -3;
2) принимает наименьшее значение, равное 4, в точке х = 0;
3) имеет нули в точках х = -2 и х = 5. При свободном падении тело за первую секунду проходит 4,9 м, а за каждую следующую — на 9,8 м больше, чем за предыдущую, если не учитывать сопротивление воздуха.
Найдите время падения тела с высоты 490 м (не учитывая сопротивление воздуха).

Подробный ответ

Функция $$y=x^2+bx+c$$ имеет единственный нуль в точке $$x=-3$$, значит, это двойной корень. Тогда
$$y=(x+3)^2=x^2+6x+9.$$
Следовательно, $$b=6,\ c=9.$$
Наименьшее значение парабола, ветви которой направлены вверх, принимает в вершине. По условию вершина находится в точке $$x=0$$ и значение функции в этой точке равно $$4$$.
Абсцисса вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}=0,$$
откуда $$b=0.$$
Теперь подставим $$x=0$$ и $$y=4$$:
$$0^2+0\cdot 0+c=4,$$
значит, $$c=4.$$
Если нули функции равны $$x=-2$$ и $$x=5$$, то
$$y=(x+2)(x-5)=x^2-3x-10.$$
Следовательно, $$b=-3,\ c=-10.$$
За первую секунду тело проходит $$4{,}9$$ м, а за каждую следующую — на $$9{,}8$$ м больше. Получаем арифметическую прогрессию:
$$a_1=4{,}9,\quad d=9{,}8,\quad S_n=490.$$
Используем формулу суммы первых $$n$$ членов:
$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$
Тогда
$$490=\frac{2\cdot 4{,}9+9{,}8(n-1)}{2}\cdot n,$$
$$980=(9{,}8+9{,}8n-9{,}8)\,n,$$
$$980=9{,}8n^2,$$
$$n^2=100,$$
$$n=10.$$