Упр.79 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Известно, что a>4 и b>-8. Докажите, что 3a+2b>-4. Докажите, что каждая диагональ выпуклого четырёхугольника меньше его полупериметра.

1) Так как $$a>4,$$ то после умножения на положительное число $$3$$ получаем:

$$3a>12.$$

Так как $$b>-8,$$ то после умножения на положительное число $$2$$ получаем:

$$2b>-16.$$

Складываем неравенства:

$$3a+2b>12+(-16)=-4.$$

Следовательно, $$3a+2b>-4.$$

2) Пусть стороны выпуклого четырёхугольника равны $$a,b,c,d,$$ а его диагонали — $$d_1$$ и $$d_2,$$ периметр равен $$P=a+b+c+d.$$

Диагональ $$d_1$$ делит четырёхугольник на два треугольника, поэтому по неравенству треугольника:

$$d_1<a+b,$$

$$d_1<c+d.$$

Складывая, получаем:

$$2d_1<a+b+c+d=P,$$

откуда

$$d_1<\frac{P}{2}.$$

Аналогично для второй диагонали:

$$d_2<a+d,$$

$$d_2<b+c,$$

значит,

$$2d_2<a+b+c+d=P,$$

то есть

$$d_2<\frac{P}{2}.$$

Итак, каждая диагональ выпуклого четырёхугольника меньше его полупериметра.

Ответ

$$3a+2b>-4;$$

$$d_1<\frac{P}{2},\quad d_2<\frac{P}{2}.$$