Упр.789 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях а уравнение х^2 — (2а — 1)х + а^2 — а — 6 = 0 имеет два различных корня, принадлежащих промежутку [-3; 2]? Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных 7.

Рассмотрим уравнение

$$x^2-(2a-1)x+a^2-a-6=0.$$

Найдём его корни по формуле через дискриминант:

$$D=(2a-1)^2-4(a^2-a-6)=4a^2-4a+1-4a^2+4a+24=25.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{2a-1\pm 5}{2},$$

то есть

$$x_1=a+2,\qquad x_2=a-3.$$

Оба корня должны принадлежать промежутку $$[-3;2].$$ Поэтому составим систему неравенств:

$$ \begin{cases} -3\le a+2\le 2,\\ -3\le a-3\le 2. \end{cases} $$

Из первого неравенства получаем:

$$-5\le a\le 0.$$

Из второго неравенства получаем:

$$0\le a\le 5.$$

Пересечение этих промежутков:

$$[-5;0]\cap[0;5]=\{0\}.$$

Значит, при $$a=0$$ уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку $$[-3;2].$$

Теперь найдём сумму всех трёхзначных чисел, кратных $$7.$$ Это арифметическая прогрессия:

$$105,\ 112,\ 119,\ \ldots,\ 994.$$

Первый член: $$a_1=105,$$ последний: $$a_n=994,$$ разность: $$d=7.$$

Найдём количество членов:

$$ n=\frac{994-105}{7}+1=128. $$

Тогда сумма равна

$$ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{105+994}{2}\cdot 128=70336. $$

Ответ

$$a=0; \quad 70336.$$