Упр.787 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ система неравенств не имеет решений:
   
   1) система $$\begin{cases} x<6, \\ x>a; \end{cases}$$
   
   2) система $$\begin{cases} x\leq5, \\ x>a; \end{cases}$$
   
   3) система $$\begin{cases} x\leq-8, \\ x\geq a; \end{cases}$$
   
   4) система $$\begin{cases} x>0, \\ x\leq a? \end{cases}$$
2. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных $$12$$ и меньших $$200$$.

1. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x<6,\\ x>a. \end{cases}$$

   Чтобы решений не было, нужно, чтобы не существовало чисел, одновременно меньших $$6$$ и больших $$a$$. Это возможно при $$a\ge 6$$.

2. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x\le 5,\\ x>a. \end{cases}$$

   Решений не будет, если $$a\ge 5$$.

3. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x\le -8,\\ x\ge a. \end{cases}$$

   Чтобы пересечение множеств было пустым, нужно $$a>-8$$.

4. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x>0,\\ x\le a. \end{cases}$$

   Решений не будет при $$a\le 0$$.

Найдём сумму всех натуральных чисел, кратных $$12$$ и меньших $$200$$.

Это арифметическая прогрессия:

$$12,\ 24,\ 36,\ \dots,\ 192$$

Здесь $$a_1=12$$, $$d=12$$.

Найдём количество членов:

$$a_n=a_1+d(n-1)<200$$

$$12+12(n-1)<200$$

$$12n<200$$

$$n<\frac{200}{12}=16\frac{2}{3}$$

Значит, $$n=16$$.

Тогда сумма:

$$S_{16}=\frac{a_1+a_{16}}{2}\cdot 16$$

$$a_{16}=12+12\cdot 15=192$$

$$S_{16}=\frac{12+192}{2}\cdot 16=102\cdot 16=1632$$

Ответ

1) $$a\ge 6$$; 2) $$a\ge 5$$; 3) $$a>-8$$; 4) $$a\le 0$$; $$1632$$.