Упр.786 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ система неравенств имеет хотя бы одно решение:
   
   1) $$\begin{cases} x<4,\\ x>a; \end{cases}$$
   
   2) $$\begin{cases} x\leqslant 2,\\ x>a; \end{cases}$$
   
   3) $$\begin{cases} x\leqslant -3,\\ x\geqslant a; \end{cases}$$
   
   4) $$\begin{cases} x\geqslant 1,\\ x\leqslant a? \end{cases}$$
2. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных $$4$$ и меньших $$130$$.

1. 1) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x<4,\\ x>a. \end{cases}$$

   Чтобы система имела хотя бы одно решение, нужно, чтобы промежуток $$\left(a;4\right)$$ был непустым. Значит, $$a<4$$.

2. 2) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x\le 2,\\ x>a. \end{cases}$$

   Решения существуют, если $$\left(a;2\right]$$ не пуст. Тогда $$a<2$$.

3. 3) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x\le -3,\\ x\ge a. \end{cases}$$

   Решения существуют, если $$[a;-3]$$ не пуст. Это возможно при $$a\le -3$$.

4. 4) Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x\ge 1,\\ x\le a. \end{cases}$$

   Решения существуют, если $$[1;a]$$ не пуст. Значит, $$a\ge 1$$.

Найдём сумму всех натуральных чисел, кратных $$4$$ и меньших $$130$$.

Это арифметическая прогрессия:

$$4,\,8,\,12,\,\dots,\,128$$

Здесь $$a_1=4$$, $$d=4$$, последний член $$a_n=128$$.

Найдём число членов:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

$$128=4+4(n-1)$$

$$128=4n$$

$$n=32$$

Теперь найдём сумму:

$$S_{32}=\frac{a_1+a_{32}}{2}\cdot 32$$

$$S_{32}=\frac{4+128}{2}\cdot 32=66\cdot 32=2112$$

Ответ

1) $$a<4$$; 2) $$a<2$$; 3) $$a\le -3$$; 4) $$a\ge 1$$; $$2112$$.