Упр.786 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) система
x < 4, х > а;
2) система
х <= 2, х > а;
3) система
x <= -3, х >= a;
4) система
х >= 1,
х <= а? Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и меньших 130.

1. 1) Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} x<4,\\ x>a. \end{cases} $$

   Чтобы система имела хотя бы одно решение, нужно, чтобы промежуток $$\left(a;4\right)$$ был непустым. Значит, $$a<4$$.

2. 2) Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} x\le 2,\\ x>a. \end{cases} $$

   Решения существуют, если $$\left(a;2\right]$$ не пуст. Тогда $$a<2$$.

3. 3) Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} x\le -3,\\ x\ge a. \end{cases} $$

   Решения существуют, если $$[a;-3]$$ не пуст. Это возможно при $$a\le -3$$.

4. 4) Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} x\ge 1,\\ x\le a. \end{cases} $$

   Решения существуют, если $$[1;a]$$ не пуст. Значит, $$a\ge 1$$.

Найдём сумму всех натуральных чисел, кратных $$4$$ и меньших $$130$$.

Это арифметическая прогрессия:

$$4,\,8,\,12,\,\dots,\,128$$

Здесь $$a_1=4$$, $$d=4$$, последний член $$a_n=128$$.

Найдём число членов:

$$ a_n=a_1+d(n-1) $$

$$ 128=4+4(n-1) $$

$$ 128=4n $$

$$ n=32 $$

Теперь найдём сумму:

$$ S_{32}=\frac{a_1+a_{32}}{2}\cdot 32 $$

$$ S_{32}=\frac{4+128}{2}\cdot 32=66\cdot 32=2112 $$

Ответ

1) $$a<4$$; 2) $$a<2$$; 3) $$a\le -3$$; 4) $$a\ge 1$$; $$2112$$.