Упр.781 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) (x + 1)/2 + (x — 1)/3 < 1 и З(х + 1) + 2(х - 1) < 1; 2) (х + З)(х^2 + 4) > 0 и х + 3 > 0;
3) х — 1 > 3 и х — 1 + 1/(x — 5) > 3 + 1/(x — 5);
4) х + 2 < 1 и х + 2 + 1/x < 1 + 1/x? Чему равна сумма n первых чётных чисел?

1. Сравним области, задаваемые неравенствами:

   $$\frac{x+1}{2}+\frac{x-1}{3}<1$$
   и
   $$3(x+1)+2(x-1)<1.$$

   Умножим первое неравенство на $$6$$:

   $$ 3(x+1)+2(x-1)<6. $$

   Полученные неравенства неравносильны, так как отличаются правые части.

2. Рассмотрим неравенства:

   $$(x+3)(x^2+4)>0$$
   и
   $$x+3>0.$$

   Так как $$x^2+4>0$$ при любом $$x$$, то первое неравенство равносильно неравенству

   $$x+3>0.$$

   Следовательно, неравенства равносильны.

3. Сравним неравенства:

   $$x-1>3$$
   и
   $$x-1+\frac{1}{x-5}>3+\frac{1}{x-5}.$$

   Во втором неравенстве нужно учитывать ОДЗ: $$x\ne 5$$. После вычитания одинаковой дроби получаем

   $$x-1>3,$$

   но с дополнительным ограничением $$x\ne 5$$.

   Значит, неравенства неравносильны.

4. Рассмотрим неравенства:

   $$x+2<1$$
   и
   $$x+2+\frac{1}{x}<1+\frac{1}{x}.$$

   Во втором неравенстве при $$x\ne 0$$ можно сократить одинаковые дроби:

   $$x+2<1.$$

   Но есть ограничение $$x\ne 0$$, поэтому неравенства неравносильны.

Ответ

1) неравносильны; 2) равносильны; 3) неравносильны; 4) неравносильны.

Ход решения

Сумма $$n$$ первых чётных чисел образует арифметическую прогрессию:

$$2,\,4,\,6,\,\dots$$

Здесь $$a_1=2$$, $$d=2$$. Тогда

$$ S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n $$

$$ S_n=\frac{2\cdot 2+2(n-1)}{2}\cdot n =\frac{4+2n-2}{2}\cdot n =\frac{2n+2}{2}\cdot n =n(n+1). $$

Ответ

$$n(n+1)$$