Упр.78 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 1/a>1/3; 2) 1/a<1/3. Докажите, что периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей.

1) Так как $$a>3,$$ а при положительных числах при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется, то

$$\frac{1}{a}<\frac{1}{3}.$$

Значит, верно утверждение 2).

2) Докажем, что периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей.

Пусть диагонали четырёхугольника равны $$d_1$$ и $$d_2,$$ а его стороны — $$a, b, c, d.$$

В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других, поэтому:

$$d_1<a+b,$$

$$d_1<c+d,$$

$$d_2<a+d,$$

$$d_2<b+c.$$

Сложим эти неравенства:

$$d_1+d_1+d_2+d_2<(a+b)+(c+d)+(a+d)+(b+c),$$

$$2(d_1+d_2)<2(a+b+c+d).$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$d_1+d_2<a+b+c+d.$$

Но $$a+b+c+d$$ — это периметр четырёхугольника, значит, сумма диагоналей меньше периметра.

Ответ

2); $$d_1+d_2<a+b+c+d$$.