Упр.779 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) положительные значения;
2) отрицательные значения;
3) значения, принадлежащие промежутку [-4; 7]? (Старинная египетская задача.) Сто мер хлеба надо разделить на пять человек так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше, чем трое последних.
Сколько надо дать каждому?

1) Найдём, при каких значениях $$x$$ функция $$f(x)=3x+12$$ принимает положительные значения:

$$ 3x+12>0 $$
$$ 3x>-12 $$
$$ x>-4 $$

Значит, функция принимает положительные значения при $$x>-4$$.

2) Найдём, при каких значениях $$x$$ функция принимает отрицательные значения:

$$ 3x+12<0 $$
$$ 3x<-12 $$
$$ x<-4 $$

Значит, функция принимает отрицательные значения при $$x<-4$$.

3) Найдём, при каких значениях $$x$$ значения функции принадлежат промежутку $$[-4;7]$$:

$$ -4\le 3x+12\le 7 $$
$$ -16\le 3x\le -5 $$
$$ -\frac{16}{3}\le x\le -\frac{5}{3} $$

Следовательно, $$x\in\left[-\frac{16}{3};-\frac{5}{3}\right]$$.

4) Пусть числа, которые получили пять человек, образуют арифметическую прогрессию:

$$ a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5 $$

По условию:

$$ a_3+a_4+a_5=7(a_1+a_2) $$
$$ a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=100 $$

Так как это арифметическая прогрессия, то

$$ a_2=a_1+d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_4=a_1+3d,\quad a_5=a_1+4d $$

Тогда первое условие даёт:

$$ (a_1+2d)+(a_1+3d)+(a_1+4d)=7\bigl(a_1+(a_1+d)\bigr) $$
$$ 3a_1+9d=14a_1+7d $$
$$ 2d=11a_1 $$

Второе условие:

$$ a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)+(a_1+4d)=100 $$
$$ 5a_1+10d=100 $$
$$ a_1+2d=20 $$

Из системы

$$ \begin{cases} 2d=11a_1,\\ a_1+2d=20 \end{cases} $$

получаем:

$$ a_1=\frac{5}{3},\quad d=\frac{55}{6} $$

Тогда:

$$ a_2=a_1+d=\frac{5}{3}+\frac{55}{6}=\frac{65}{6}=10\frac{5}{6} $$
$$ a_3=a_2+d=10\frac{5}{6}+\frac{55}{6}=20 $$
$$ a_4=a_3+d=20+\frac{55}{6}=29\frac{1}{6} $$
$$ a_5=a_4+d=29\frac{1}{6}+\frac{55}{6}=38\frac{1}{3} $$

Значит, каждому надо дать:

$$ 1\frac{2}{3},\ 10\frac{5}{6},\ 20,\ 29\frac{1}{6},\ 38\frac{1}{3} $$

Ответ

1) $$x>-4$$; 2) $$x<-4$$; 3) $$x\in\left[-\frac{16}{3};-\frac{5}{3}\right]$$; 4) $$1\frac{2}{3},\ 10\frac{5}{6},\ 20,\ 29\frac{1}{6},\ 38\frac{1}{3}$$.