Упр.772 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$a
2. Чему равна сумма сорока первых членов арифметической прогрессии $$(x_n)$$, если $$x_8=-14$$, $$x_{80}=-3$$?

1) Докажем неравенство:

$$a^2b+2b^2+4a<ab^2+2a^2+4b.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$a^2b+2b^2+4a-ab^2-2a^2-4b<0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$ab(a-b)+4(a-b)-2(a^2-b^2)<0.$$

Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ то

$$ab(a-b)+4(a-b)-2(a-b)(a+b)<0.$$

Вынесем общий множитель $$a-b$$:

$$(a-b)\bigl(ab+4-2a-2b\bigr)<0.$$

Преобразуем скобку:

$$ab+4-2a-2b=(a-2)(b-2).$$

Тогда

$$(a-b)(a-2)(b-2)<0.$$

По условию $$a<b<2,$$ значит $$a-b<0,$$ $$a-2<0,$$ $$b-2<0.$$

Произведение трёх отрицательных чисел отрицательно, поэтому

$$(a-b)(a-2)(b-2)<0.$$

Следовательно,

$$a^2b+2b^2+4a<ab^2+2a^2+4b.$$

2) Найдём сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если $$x_8=-14,$$ $$x_{30}=-3.$$

Используем формулу $$x_n=x_1+d(n-1).$$ Тогда

$$x_1+7d=-14,$$

$$x_1+29d=-3.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$22d=11,$$

$$d=0{,}5.$$

Найдём первый член:

$$x_1=-14-7\cdot 0{,}5=-17{,}5.$$

Теперь вычислим сумму:

$$S_{40}=\frac{2x_1+39d}{2}\cdot 40.$$

Подставим значения:

$$S_{40}=\frac{2\cdot(-17{,}5)+39\cdot 0{,}5}{2}\cdot 40$$

$$S_{40}=\frac{-35+19{,}5}{2}\cdot 40=-15{,}5\cdot 20=-310.$$

Ответ

$$-310$$