Упр.772 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Докажите, что если а < b < 2, то а^2 b + 2b^2 + 4a < аb^2 + 2a^2 + 4b. Чему равна сумма сорока первых членов арифметической прогрессии (хn), если х8 = -14, х80 = -3? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak9 772 95

1) Докажем неравенство:

$$a^2b+2b^2+4a<ab^2+2a^2+4b.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$a^2b+2b^2+4a-ab^2-2a^2-4b<0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$ab(a-b)+4(a-b)-2(a^2-b^2)<0.$$

Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ то

$$ab(a-b)+4(a-b)-2(a-b)(a+b)<0.$$

Вынесем общий множитель $$a-b$$:

$$ (a-b)\bigl(ab+4-2a-2b\bigr)<0.$$

Преобразуем скобку:

$$ab+4-2a-2b=(a-2)(b-2).$$

Тогда

$$ (a-b)(a-2)(b-2)<0.$$

По условию $$a<b<2,$$ значит $$a-b<0,$$ $$a-2<0,$$ $$b-2<0.$$

Произведение трёх отрицательных чисел отрицательно, поэтому

$$ (a-b)(a-2)(b-2)<0.$$

Следовательно,

$$a^2b+2b^2+4a<ab^2+2a^2+4b.$$

2) Найдём сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если $$x_8=-14,$$ $$x_{30}=-3.$$

Используем формулу $$x_n=x_1+d(n-1).$$ Тогда

$$x_1+7d=-14,$$

$$x_1+29d=-3.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$22d=11,$$

$$d=0{,}5.$$

Найдём первый член:

$$x_1=-14-7\cdot 0{,}5=-17{,}5.$$

Теперь вычислим сумму:

$$S_{40}=\frac{2x_1+39d}{2}\cdot 40.$$

Подставим значения:

$$S_{40}=\frac{2\cdot(-17{,}5)+39\cdot 0{,}5}{2}\cdot 40$$

$$S_{40}=\frac{-35+19{,}5}{2}\cdot 40=-15{,}5\cdot 20=-310.$$

Ответ

$$-310$$