Упр.771 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) a1 = 6, а9 = 22;
2) а6 = 49, а20 = 7.

Докажем неравенство:

$$a^2b+b^2+a>ab^2+a^2+b.$$

Перенесём всё в левую часть и преобразуем:

$$a^2b+b^2+a-ab^2-a^2-b>0$$

$$ab(a-b)+(a-b)+(b^2-a^2)>0$$

$$ab(a-b)+(a-b)+(b-a)(b+a)>0$$

$$ab(a-b)+(a-b)-(a-b)(a+b)>0$$

$$ (a-b)(ab+1-a-b)>0$$

$$ (a-b)\bigl(ab-a-b+1\bigr)>0$$

$$ (a-b)(a-1)(b-1)>0.$$

Так как $$a>b>1,$$ то $$a-b>0,$$ $$a-1>0,$$ $$b-1>0.$$ Следовательно, произведение положительных множителей положительно. Неравенство доказано.

Найдём сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии.

1) $$a_1=6,\ a_9=22.$$

Найдём разность прогрессии:

$$a_9=a_1+8d$$

$$22=6+8d$$

$$8d=16,\quad d=2.$$

Тогда

$$S_{12}=\frac{2a_1+11d}{2}\cdot 12$$

$$S_{12}=\frac{2\cdot 6+11\cdot 2}{2}\cdot 12=\frac{12+22}{2}\cdot 12=17\cdot 12=204.$$

2) $$a_6=49,\ a_{20}=7.$$

Составим систему:

$$a_6=a_1+5d,$$

$$a_{20}=a_1+19d.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$14d=7-49=-42,$$

$$d=-3.$$

Найдём первый член:

$$a_1=49-5d=49-5\cdot(-3)=64.$$

Теперь вычислим сумму:

$$S_{12}=\frac{2a_1+11d}{2}\cdot 12$$

$$S_{12}=\frac{2\cdot 64+11\cdot(-3)}{2}\cdot 12=\frac{128-33}{2}\cdot 12=\frac{95}{2}\cdot 12=570.$$

Ответ

$$a^2b+b^2+a>ab^2+a^2+b; \quad 1)\ 204;\quad 2)\ 570.$$