Упр.768 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что неравенство является верным:
   
   1) $$a^5 — 5 \geq 5a^4 — a$$, если $$a \geq 5$$;
   
   2) $$b^3 + b + 2 \geq 0$$, если $$b \geq -1$$;
   
   3) $$c^3 + c \leq 3c^2 + 3$$, если $$c \leq 3$$.
2. Дмитрий взял в библиотеке книгу. За первый день он прочитал 40 страниц, а за каждый следующий день читал на 10 страниц больше, чем за предыдущий. Сколько страниц в книге, если Дмитрий прочитал её за 7 дней?

1. $$a^5-5\ge 5a^4-a$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$a^5-5a^4+a-5\ge 0$$

   Сгруппируем слагаемые:

   $$a^4(a-5)+(a-5)\ge 0$$

   $$\left(a^4+1\right)(a-5)\ge 0$$

   Так как $$a^4+1>0$$ при любом $$a$$, а при $$a\ge 5$$ имеем $$a-5\ge 0$$, то произведение неотрицательно.

2. $$b^3+b+2\ge 0$$

   Преобразуем левую часть:

   $$b^3+b+2=b^3-b+2b+2$$

   $$=b(b^2-1)+2(b+1)$$

   $$=b(b-1)(b+1)+2(b+1)$$

   $$=(b+1)(b^2-b+2)$$

   При $$b\ge -1$$ первый множитель неотрицателен. Для второго множителя:

   $$b^2-b+2=\left(b-\frac12\right)^2+\frac74>0$$

   Значит, произведение неотрицательно.

3. $$c^3+c\le 3c^2+3$$

   Перенесём всё в левую часть:

   $$c^3-3c^2+c-3\le 0$$

   Сгруппируем:

   $$c^2(c-3)+(c-3)\le 0$$

   $$\left(c^2+1\right)(c-3)\le 0$$

   Так как $$c^2+1>0$$ при любом $$c$$, а при $$c\le 3$$ имеем $$c-3\le 0$$, то произведение не положительно.

Ответ

Все три неравенства верны.