Упр.768 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) а^5 — 5 >= 5а^4 — a, если а >= 5;
2) b^3 + b + 2 >= 0, если b >= -1;
3) с^3 + с <= Зс^2 + 3, если с <= 3. Дмитрий взял в библиотеке книгу. За первый день он прочитал 40 страниц, а за каждый следующий день читал на 10 страниц больше, чем за предыдущий. Сколько страниц в книге, если Дмитрий прочитал её за 7 дней?

Подробный ответ

$$a^5-5\ge 5a^4-a$$
Перенесём всё в левую часть:
$$a^5-5a^4+a-5\ge 0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$a^4(a-5)+(a-5)\ge 0$$
$$\left(a^4+1\right)(a-5)\ge 0$$
Так как $$a^4+1>0$$ при любом $$a$$, а при $$a\ge 5$$ имеем $$a-5\ge 0$$, то произведение неотрицательно.
$$b^3+b+2\ge 0$$
Преобразуем левую часть:
$$b^3+b+2=b^3-b+2b+2$$
$$=b(b^2-1)+2(b+1)$$
$$=b(b-1)(b+1)+2(b+1)$$
$$=(b+1)(b^2-b+2)$$
При $$b\ge -1$$ первый множитель неотрицателен. Для второго множителя:
$$b^2-b+2=\left(b-\frac12\right)^2+\frac74>0$$
Значит, произведение неотрицательно.
$$c^3+c\le 3c^2+3$$
Перенесём всё в левую часть:
$$c^3-3c^2+c-3\le 0$$
Сгруппируем:
$$c^2(c-3)+(c-3)\le 0$$
$$\left(c^2+1\right)(c-3)\le 0$$
Так как $$c^2+1>0$$ при любом $$c$$, а при $$c\le 3$$ имеем $$c-3\le 0$$, то произведение не положительно.