Упр.766 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) (x-1)/(x+5)+(x+5)/(x-1)=10/3; 3) x^2/(3x-1)^2-4x/(3x-1)-5=0;
2) (x^2-3x+6)/x+2x/(x^2-3x+6)=3; 4) 24/(x^2+2x-8)-15/(x^2+2x-3)=2. Вычислите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии -8, -6, -4, … .
$$\frac{x-1}{x+5}+\frac{x+5}{x-1}=\frac{10}{3}$$
Положим $$y=\frac{x-1}{x+5}$$, тогда $$\frac{1}{y}=\frac{x+5}{x-1}$$. Получаем:
$$y+\frac{1}{y}=\frac{10}{3}$$
$$3y^2-10y+3=0$$
$$D=100-36=64$$
$$y_1=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3}, \quad y_2=\frac{10+8}{6}=3$$
1) $$\frac{x-1}{x+5}=\frac{1}{3}$$, тогда
$$3(x-1)=x+5$$
$$3x-3=x+5$$
$$2x=8,\quad x=4$$
2) $$\frac{x-1}{x+5}=3$$, тогда
$$x-1=3(x+5)$$
$$x-1=3x+15$$
$$-2x=16,\quad x=-8$$
$$x\neq -5,\; x\neq 1$$ — найденные значения подходят.
$$\frac{x^2-3x+6}{x}+\frac{2x}{x^2-3x+6}=3$$
Положим $$y=\frac{x^2-3x+6}{x}$$, тогда $$\frac{2}{y}=\frac{2x}{x^2-3x+6}$$. Получаем:
$$y+\frac{2}{y}=3$$
$$y^2-3y+2=0$$
$$D=9-8=1$$
$$y_1=1,\quad y_2=2$$
1) $$\frac{x^2-3x+6}{x}=1$$, тогда
$$x^2-3x+6=x$$
$$x^2-4x+6=0$$
$$D=16-24=-8<0$$, решений нет.
2) $$\frac{x^2-3x+6}{x}=2$$, тогда
$$x^2-3x+6=2x$$
$$x^2-5x+6=0$$
$$\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$
$$x=2,\quad x=3$$
$$x\neq 0$$, оба значения подходят.
$$\frac{x^2}{(3x-1)^2}-\frac{4x}{3x-1}-5=0$$
Положим $$y=\frac{x}{3x-1}$$, тогда:
$$y^2-4y-5=0$$
$$D=16+20=36$$
$$y_1=-1,\quad y_2=5$$
1) $$\frac{x}{3x-1}=-1$$, тогда
$$x=-(3x-1)$$
$$x=-3x+1$$
$$4x=1,\quad x=\frac{1}{4}$$
2) $$\frac{x}{3x-1}=5$$, тогда
$$x=5(3x-1)$$
$$x=15x-5$$
$$14x=5,\quad x=\frac{5}{14}$$
$$x\neq \frac{1}{3}$$, найденные значения подходят.
$$\frac{24}{x^2+2x-8}-\frac{15}{x^2+2x-3}=2$$
Положим $$y=x^2+2x-3$$, тогда $$x^2+2x-8=y-5$$. Получаем:
$$\frac{24}{y-5}-\frac{15}{y}=2$$
$$24y-15(y-5)=2y(y-5)$$
$$24y-15y+75=2y^2-10y$$
$$2y^2-19y-75=0$$
$$D=19^2+4\cdot 2\cdot 75=961$$
$$y_1=-3,\quad y_2=\frac{25}{2}$$
1) $$x^2+2x-3=-3$$, тогда
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
$$x=0,\quad x=-2$$
2) $$x^2+2x-3=\frac{25}{2}$$, тогда
$$2x^2+4x-31=0$$
$$D=16+248=264$$
$$x=\frac{-4\pm \sqrt{264}}{4}=\frac{-2\pm \sqrt{66}}{2}$$
Все найденные значения не обращают знаменатели в нуль.
Для арифметической прогрессии $$-8,\,-6,\,-4,\ldots$$
$$a_1=-8,\quad d=-6-(-8)=2$$
Сумма первых $$20$$ членов:
$$S_{20}=\frac{2a_1+d(20-1)}{2}\cdot 20$$
$$S_{20}=\frac{2\cdot(-8)+2\cdot 19}{2}\cdot 20$$
$$S_{20}=\frac{-16+38}{2}\cdot 20=11\cdot 20=220$$
Ответ
1) $$x=-8,\;4$$; 2) $$x=2,\;3$$; 3) $$x=\frac{1}{4},\;\frac{5}{14}$$; 4) $$x=-2,\;0,\;\frac{-2-\sqrt{66}}{2},\;\frac{-2+\sqrt{66}}{2}$$; $$S_{20}=220$$.
