Упр.765 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 1/(x^2+2x)-2/(x^2-4)=(x+4)/(5x(2-x));
2) 2/(x^2-2x+1)-1/(x^3-1)=3/(x^2+x+1). Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, у которой а1 = -6 и d = 4.

1. $$\frac{1}{x^2+2x}-\frac{2}{x^2-4}=\frac{x+4}{5x(2-x)}$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$x^2+2x=x(x+2), \quad x^2-4=(x-2)(x+2), \quad 5x(2-x)=-5x(x-2).$$

   Тогда

   $$\frac{1}{x(x+2)}-\frac{2}{(x-2)(x+2)}=-\frac{x+4}{5x(x-2)}.$$

   Умножим обе части на $$5x(x-2)(x+2)$$:

   $$ 5(x-2)-10x=-(x+4)(x+2) $$

   $$ 5x-10-10x=-x^2-6x-8 $$

   $$ x^2+x-2=0 $$

   $$ (x+2)(x-1)=0 $$

   $$x=-2 \text{ или } x=1.$$

   Но $$x=-2$$ не подходит, так как обращает в нуль знаменатель. Значит, $$x=1$$.

2. $$\frac{2}{x^2-2x+1}-\frac{1}{x^3-1}=\frac{3}{x^2+x+1}$$

   Разложим знаменатели:

   $$x^2-2x+1=(x-1)^2, \quad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$$

   Тогда

   $$ \frac{2}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{3}{x^2+x+1}. $$

   Умножим обе части на $$ (x-1)^2(x^2+x+1) $$:

   $$ 2(x^2+x+1)-(x-1)=3(x-1)^2 $$

   $$ 2x^2+2x+2-x+1=3x^2-6x+3 $$

   $$ 2x^2+x+3=3x^2-6x+3 $$

   $$ x^2-7x=0 $$

   $$ x(x-7)=0 $$

   $$x=0 \text{ или } x=7.$$

   Оба значения подходят, так как $$x\neq 1$$.

3. Для арифметической прогрессии $$a_1=-6$$, $$d=4$$.

   Используем формулу суммы первых $$n$$ членов:

   $$ S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr) $$

   $$ S_{12}=\frac{12}{2}\bigl(2\cdot(-6)+4\cdot(12-1)\bigr) $$

   $$ S_{12}=6(-12+44)=6\cdot 32=192 $$

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=0,\,7$$; 3) $$192$$.