Упр.763 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) |x^2-2x-6|=6; 3) x|x|+2x-15=0;
2) x^2-6|x|-16=0; 4) ||x^2-6x-4|-3|=1. Чему равна сумма семи первых членов арифметической прогрессии (аn), если a1 = 9 и а7 = 15?
$$|x^2-2x-6|=6$$
Рассмотрим два случая:
$$x^2-2x-6=6$$
$$x^2-2x-12=0$$
$$D=4+48=52$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{52}}{2}=1\pm\sqrt{13}$$
$$x^2-2x-6=-6$$
$$x^2-2x=0$$
$$x(x-2)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=2$$
$$x^2-6|x|-16=0$$
Обозначим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x^2=t^2$$. Получаем:
$$t^2-6t-16=0$$
$$D=36+64=100$$
$$t=\frac{6\pm 10}{2}$$
$$t_1=8,\quad t_2=-2$$
Так как $$t\ge 0$$, берём только $$t=8$$. Тогда
$$|x|=8$$
$$x=-8 \text{ или } x=8$$
$$x|x|+2x-15=0$$
Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$ и
$$x^2+2x-15=0$$
$$D=4+60=64$$
$$x=\frac{-2\pm 8}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=3$$
Подходит только $$x=3$$, так как $$x\ge 0$$.
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и
$$-x^2+2x-15=0$$
$$x^2-2x+15=0$$
$$D=4-60<0$$
Корней нет.
$$||x^2-6x-4|-3|=1$$
Пусть $$|x^2-6x-4|-3=y$$. Тогда
$$|y|=1$$
Значит,
$$|x^2-6x-4|-3=1 \quad \text{или} \quad |x^2-6x-4|-3=-1$$
1) $$|x^2-6x-4|=4$$
$$x^2-6x-4=4 \quad \text{или} \quad x^2-6x-4=-4$$
$$x^2-6x-8=0 \Rightarrow x= -1,\ 8$$
$$x^2-6x=0 \Rightarrow x=0,\ 6$$
2) $$|x^2-6x-4|=2$$
$$x^2-6x-4=2 \quad \text{или} \quad x^2-6x-4=-2$$
$$x^2-6x-6=0 \Rightarrow x=3\pm\sqrt{15}$$
$$x^2-6x-2=0 \Rightarrow x=3\pm\sqrt{11}$$
Для арифметической прогрессии
$$S_7=\frac{a_1+a_7}{2}\cdot 7$$
$$S_7=\frac{9+15}{2}\cdot 7=12\cdot 7=84$$
Ответ
1) $$x=0,\ 2,\ 1-\sqrt{13},\ 1+\sqrt{13}$$; 2) $$x=-8,\ 8$$; 3) $$x=3$$; 4) $$x=-1,\ 0,\ 6,\ 8,\ 3-\sqrt{15},\ 3+\sqrt{15},\ 3-\sqrt{11},\ 3+\sqrt{11}$$; $$S_7=84$$.
