Упр.762 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) (a^2/(a+b)-a^3/(a^2+ab+b^2)):(a/(a-b)-a^2/(a^2-b^2));
2) (b/(b+6)+(36+b^2)/(36-b^2)-b/(b-6)):(6b+b^2)/(6-b)^2. Рабочий должен был за определённый срок изготовить 216 деталей.
Первые три дня он выполнял установленную ежедневную норму, а потом стал изготавливать ежедневно на 8 деталей сверх нормы.
За один день до конца срока было изготовлено 232 детали.
Сколько деталей в день должен был изготавливать рабочий в соответствии с нормой?
$$\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\right):\left(\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right)$$
Приведём к общим знаменателям:
$$\frac{a^2(a^2+ab+b^2)-a^3(a+b)}{(a+b)(a^2+ab+b^2)}:\frac{a(a+b)-a^2}{(a-b)(a+b)}$$$$\frac{a^2(a^2+ab+b^2-a^2-ab)}{(a+b)(a^2+ab+b^2)}:\frac{ab-a^2}{(a-b)(a+b)}$$
$$\frac{a^2b^2}{(a+b)(a^2+ab+b^2)}:\frac{a(b-a)}{(a-b)(a+b)}$$
Так как $$b-a=-(a-b),$$ то
$$\frac{a^2b^2}{(a+b)(a^2+ab+b^2)}:\left(-\frac{a}{a+b}\right)$$$$\frac{a^2b^2}{(a+b)(a^2+ab+b^2)}\cdot\frac{a+b}{a}=\frac{ab^2}{a^2+ab+b^2}$$
$$\left(\frac{b}{b+6}+\frac{36+b^2}{36-b^2}-\frac{b}{b-6}\right):\frac{6b+b^2}{(6-b)^2}$$
Заметим, что
$$36-b^2=(6-b)(6+b), \qquad (6-b)^2=(b-6)^2.$$Тогда
$$\frac{b}{b+6}+\frac{b^2+36}{(6-b)(6+b)}-\frac{b}{b-6}$$Приведём к общему знаменателю $$b^2-36=(b-6)(b+6):$$
$$\frac{b(b-6)+(b^2+36)-b(b+6)}{(b-6)(b+6)}$$$$\frac{b^2-6b+b^2+36-b^2-6b}{(b-6)(b+6)}=\frac{b^2-12b+36}{(b-6)(b+6)}=\frac{(b-6)^2}{(b-6)(b+6)}=\frac{b-6}{b+6}$$
Теперь делим на вторую дробь:
$$\frac{b-6}{b+6}:\frac{b(b+6)}{(b-6)^2}=\frac{b-6}{b+6}\cdot\frac{(b-6)^2}{b(b+6)}$$$$=\frac{(b-6)^3}{b(b+6)^2}$$
Пусть $$x$$ — норма деталей в день, $$y$$ — срок в днях. Тогда
$$xy=216,$$
значит
$$y=\frac{216}{x}.$$За первые три дня изготовили $$3x$$ деталей, а за оставшееся время $$y-4$$ дней — по $$x+8$$ деталей в день. По условию:
$$3x+(x+8)(y-4)=232.$$Подставим $$y=\frac{216}{x}:$$
$$3x+(x+8)\left(\frac{216}{x}-4\right)=232.$$Умножим на $$x$$:
$$3x^2+(x+8)(216-4x)=232x.$$$$3x^2+216x+1728-4x^2-32x=232x$$
$$x^2+48x-1728=0.$$$$D=48^2+4\cdot1728=9216,$$
$$x=\frac{-48\pm96}{2}.$$$$x_1=24,\qquad x_2=-72.$$
Отрицательное значение не подходит, значит норма равна $$24$$ деталям в день.
Ответ
1) $$\frac{ab^2}{a^2+ab+b^2}$$; 2) $$\frac{(b-6)^3}{b(b+6)^2}$$; 3) $$24$$ детали в день.
