Упр.761 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: $$\frac{1}{(b-c)(c-a)}-\frac{1}{(a-b)(c-b)}+\frac{1}{(a-c)(b-a)}=0$$.
2. Докажите, что если все цифры трёхзначного числа одинаковы, то это число кратно 37.

Преобразуем левую часть тождества, приводя дроби к общему виду:

$$\frac{1}{(b-c)(c-a)}-\frac{1}{(a-b)(c-b)}+\frac{1}{(a-c)(b-a)}$$
$$=\frac{1}{(b-c)(c-a)}+\frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(a-c)(b-a)}$$
$$=\frac{a-b+c-a}{(b-c)(c-a)(a-b)}+\frac{b-c}{(a-c)(b-a)(b-c)}$$
$$=\frac{1}{(a-c)(b-a)}-\frac{1}{(b-c)(a-c)}=0.$$

Значит, тождество верно.

Докажем второе утверждение. Пусть все цифры трёхзначного числа равны $$a$$. Тогда это число можно записать так:

$$x=100a+10a+a=111a=3\cdot 37a.$$

Следовательно, число делится на $$37$$.

Ответ

$$\frac{1}{(b-c)(c-a)}-\frac{1}{(a-b)(c-b)}+\frac{1}{(a-c)(b-a)}=0,$$ а любое трёхзначное число с одинаковыми цифрами кратно $$37$$.