Упр.757 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) a/(2a — корень(7b));
2) (p — 3)/(корень(4 — p) — 1);
3) m/(m + корень(n));
4) 1/(корень(a — 3) + 2);
5) 7/(3 — корень(b + 2)). Решите систему уравнений:
1) система
x^2 — 3у^2 = 46,
х + у = 6;
2) система
x^2 — 2у^2 = -4,
х^2 + 2у^2 = 12.

1. Освободимся от иррациональности в знаменателе:

   $$\frac{a}{2a-\sqrt{7b}}=\frac{a(2a+\sqrt{7b})}{(2a-\sqrt{7b})(2a+\sqrt{7b})}=\frac{2a^2+a\sqrt{7b}}{4a^2-7b}$$

   $$\frac{p-3}{\sqrt{4-p}-1}=\frac{(p-3)(\sqrt{4-p}+1)}{(\sqrt{4-p}-1)(\sqrt{4-p}+1)}=\frac{(p-3)(\sqrt{4-p}+1)}{3-p}=-\sqrt{4-p}-1$$

   $$\frac{m}{m+\sqrt{n}}=\frac{m(m-\sqrt{n})}{(m+\sqrt{n})(m-\sqrt{n})}=\frac{m^2-m\sqrt{n}}{m^2-n}$$

   $$\frac{1}{\sqrt{a-3}+2}=\frac{\sqrt{a-3}-2}{(\sqrt{a-3}+2)(\sqrt{a-3}-2)}=\frac{\sqrt{a-3}-2}{a-7}$$

   $$\frac{7}{3-\sqrt{b+2}}=\frac{7(3+\sqrt{b+2})}{(3-\sqrt{b+2})(3+\sqrt{b+2})}=\frac{21+7\sqrt{b+2}}{7-b}$$

2. Решим систему

   $$\begin{cases} x^2-3y^2=46,\\ x+y=6. \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$x=6-y.$$

   Подставим в первое:

   $$(6-y)^2-3y^2=46$$
   $$36-12y+y^2-3y^2=46$$
   $$2y^2+12y+10=0$$
   $$y^2+6y+5=0$$
   $$(y+1)(y+5)=0$$

   Отсюда $$y=-1$$ или $$y=-5$$.

   Тогда

   $$x=6-(-1)=7,\qquad x=6-(-5)=11.$$

   Получаем пары решений: $$(7;\,-1),\ (11;\,-5).$$

   Проверим систему

   $$\begin{cases} x^2-2y^2=-4,\\ x^2+2y^2=12. \end{cases}$$

   Сложим уравнения:

   $$2x^2=8,$$
   $$x^2=4,$$
   $$x=\pm 2.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$4+2y^2=12,$$
   $$2y^2=8,$$
   $$y^2=4,$$
   $$y=\pm 2.$$

   Значит, решения системы:

   $$(2;\,2),\ (2;\,-2),\ (-2;\,2),\ (-2;\,-2).$$

Ответ

1) $$\frac{2a^2+a\sqrt{7b}}{4a^2-7b};\ -\sqrt{4-p}-1;\ \frac{m^2-m\sqrt{n}}{m^2-n};\ \frac{\sqrt{a-3}-2}{a-7};\ \frac{21+7\sqrt{b+2}}{7-b}.$$
2) $$(7;\,-1),\ (11;\,-5).$$
3) $$(2;\,2),\ (2;\,-2),\ (-2;\,2),\ (-2;\,-2).$$