Упр.756 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) 6аb^2 — 12аb^3;
2) 2а^3 — 8a;
3) За^2с — 3с^3;
4) 18mn^2 + 27m^2 n;
5) 100x^2- 1;
6) 2у^2 — 12у + 18. Докажите, что если значения выражений 1/(b + c), 1/(a + c) и 1/(a + b) являются последовательными членами арифметической прогрессии,
то значения выражений а^2, b^2 и с^2 также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Подробный ответ

$$6ab^2-12ab^3=6ab^2(1-2b)$$
$$2a^3-8a=2a(a^2-4)=2a(a-2)(a+2)$$
$$3a^2c-3c^3=3c(a^2-c^2)=3c(a-c)(a+c)$$
$$18mn^2+27m^2n=9mn(2n+3m)$$
$$100x^2-1=(10x-1)(10x+1)$$
$$2y^2-12y+18=2(y^2-6y+9)=2(y-3)^2$$

Докажем, что если числа $$\frac{1}{b+c}$$, $$\frac{1}{a+c}$$ и $$\frac{1}{a+b}$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, то числа $$a^2$$, $$b^2$$ и $$c^2$$ тоже образуют арифметическую прогрессию.

Для трёх последовательных членов арифметической прогрессии средний равен среднему арифметическому крайних:

$$\frac{2}{a+c}=\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}$$

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{2}{a+c}=\frac{a+b+b+c}{(a+b)(b+c)}=\frac{a+2b+c}{(a+b)(b+c)}$$

Перемножим крест-накрест:

$$2(a+b)(b+c)=(a+c)(a+2b+c)$$

Раскроем скобки:

$$2(ab+ac+b^2+bc)=a^2+2ab+ac+ac+2bc+c^2$$

$$2ab+2ac+2b^2+2bc=a^2+2ab+2ac+2bc+c^2$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$2b^2=a^2+c^2$$

Следовательно,

$$b^2=\frac{a^2+c^2}{2}$$

Значит, средний член $$b^2$$ равен среднему арифметическому чисел $$a^2$$ и $$c^2$$, то есть числа $$a^2$$, $$b^2$$ и $$c^2$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.