Упр.755 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
1) 5х^2- 11x + 2 <= 0;
2) 4х^2 + 3,6х > 0;
3) 12 — 5х — Зх^2 <= 0;
4) 0,04 — х^2 > 0. Докажите, что если положительные числа а, b и с — три последовательных члена арифметической прогрессии, то
1/((корень(а) + корень(b)) + 1/((корень(b) + корень(c)) = 2/((корень(а) + корень(c)).
$$5x^2-11x+2\le 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-11)^2-4\cdot 5\cdot 2=121-40=81$$
$$x_{1,2}=\frac{11\pm 9}{2\cdot 5}$$
$$x_1=\frac{2}{10}=\frac15,\qquad x_2=\frac{20}{10}=2$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$x\in\left[\frac15;2\right]$$
$$4x^2+3{,}6x>0$$
Вынесем общий множитель:
$$4x(x+0{,}9)>0$$
Произведение положительно, когда множители одного знака:
$$x\in(-\infty;-0{,}9)\cup(0;+\infty)$$
$$12-5x-3x^2\le 0$$
Перенесём всё в левую часть:
$$3x^2+5x-12\ge 0$$
Найдём корни уравнения $$3x^2+5x-12=0$$:
$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-12)=25+144=169$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 13}{2\cdot 3}$$
$$x_1=-3,\qquad x_2=\frac43$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$x\in(-\infty;-3]\cup\left[\frac43;+\infty\right)$$
$$0{,}04-x^2>0$$
$$x^2<0{,}04$$
$$x^2<(0{,}2)^2$$
Следовательно,
$$-0{,}2<x<0{,}2$$
Докажем тождество. Так как $$a,b,c$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то
$$b=\frac{a+c}{2}$$
Тогда
$$\frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt b+\sqrt c}=\frac{2}{\sqrt a+\sqrt c}$$
Приведём левую часть к общему знаменателю:
$$\frac{\sqrt b+\sqrt c+\sqrt a+\sqrt b}{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt b+\sqrt c)}=\frac{2}{\sqrt a+\sqrt c}$$
$$\frac{\sqrt a+\sqrt c+2\sqrt b}{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt b+\sqrt c)}=\frac{2}{\sqrt a+\sqrt c}$$
Перемножим крест-накрест:
$$\left(\sqrt a+\sqrt c+2\sqrt b\right)\left(\sqrt a+\sqrt c\right)=2\left(\sqrt{ab}+b+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)$$
Раскроем скобки:
$$a+c+2\sqrt{ac}+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}=2\sqrt{ab}+2b+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}$$
После сокращения получаем:
$$a+c=2b$$
что и требовалось доказать.
Ответ
1) $$\left[\frac15;2\right]$$; 2) $$(-\infty;-0{,}9)\cup(0;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;-3]\cup\left[\frac43;+\infty\right)$$; 4) $$(-0{,}2;0{,}2)$$; тождество доказано.
