Упр.754 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2}+\ldots$$, где $$x>0$$.
2. Докажите, что если числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ — три последовательных члена арифметической прогрессии, то:
   1) $$a^2+8bc=(2b+c)^2$$;
   2) $$\frac{2}{9}(a+b+c)^3=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)$$.

Пусть

$$y=\sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{(1+\sqrt{x})^2}+\cdots,\quad x>0.$$

Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $$a_1=\sqrt{x}$$ и знаменателем $$q=\frac{1}{1+\sqrt{x}}.$$ Тогда

$$y=\frac{\sqrt{x}}{1-\frac{1}{1+\sqrt{x}}} =\frac{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}{1+\sqrt{x}-1} =\frac{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}{\sqrt{x}} =\sqrt{x}+1,\quad x>0.$$

Значит, график функции $$y=\sqrt{x}+1$$ при $$x>0$$ — это график $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый вверх на 1. Точка $$\left(0;1\right)$$ не входит в график, так как $$x>0$$.

Докажем утверждения для трёх последовательных членов арифметической прогрессии. Если $$a,b,c$$ — три последовательных члена АП, то

$$2b=a+c,\qquad b=\frac{a+c}{2}.$$

1) Рассмотрим левую часть:

$$a^2+8bc=a^2+8c\cdot \frac{a+c}{2} =a^2+4c(a+c) =a^2+4ac+4c^2.$$

Правая часть:

$$(2b+c)^2=\left(2\cdot \frac{a+c}{2}+c\right)^2=(a+2c)^2=a^2+4ac+4c^2.$$

Следовательно,

$$a^2+8bc=(2b+c)^2.$$

2) Упростим правую часть:

$$a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)$$

$$=a^2\left(\frac{a+c}{2}+c\right)+\left(\frac{a+c}{2}\right)^2(a+c)+c^2\left(a+\frac{a+c}{2}\right).$$

Так как $$a+c=2b,$$ получаем

$$=a^2\cdot \frac{a+3c}{2}+b^2\cdot 2b+c^2\cdot \frac{3a+c}{2}.$$

После раскрытия скобок:

$$=2b^3+\frac{a^3+4a^2c+4ac^2+c^3}{2} =2b^3+\frac{(a+c)^3}{2}.$$

Но $$a+c=2b,$$ значит

$$2b^3+\frac{(2b)^3}{2}=2b^3+4b^3=6b^3.$$

Теперь левая часть:

$$\frac{2}{9}(a+b+c)^3=\frac{2}{9}(2b+b)^3=\frac{2}{9}(3b)^3=6b^3.$$

Левая и правая части равны, значит

$$\frac{2}{9}(a+b+c)^3=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b).$$

Ответ

$$y=\sqrt{x}+1,\quad x>0.$$

1) $$a^2+8bc=(2b+c)^2.$$

2) $$\frac{2}{9}(a+b+c)^3=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b).$$