Упр.753 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите члены этой прогрессии.

Рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии:

$$ y=x^2+\frac{x^2}{1+x^2}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2}+\cdots $$

Здесь первый член $$a_1=x^2$$, знаменатель $$q=\frac{1}{1+x^2}$$. Тогда

$$ y=\frac{a_1}{1-q} =\frac{x^2}{1-\frac{1}{1+x^2}} =\frac{x^2}{\frac{x^2}{1+x^2}} =1+x^2,\quad x\ne 0. $$

Значит, график функции $$y=x^2+1$$ при $$x\ne 0$$. Это парабола, сдвинутая вверх на 1, но точка $$\left(0;1\right)$$ не входит в график.

Теперь найдём значение $$x$$, при котором числа $$3x+4,\;2x+3,\;x^2,\;2x^2+x$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Для последовательных членов АП выполняется равенство:

$$ 2(2x+3)=(3x+4)+x^2 $$

$$ 4x+6=3x+4+x^2 $$

$$ x^2-x-2=0 $$

$$ (x-2)(x+1)=0 $$

$$ x=2 \text{ или } x=-1. $$

Проверим второе равенство для средних членов:

$$ 2x^2+x=(2x+3)+\bigl((2x+3)- (3x+4)\bigr) $$

Удобнее сразу использовать условие для трёх последовательных членов:

$$ 2x^2+x+(3x+4)=2(2x+3) $$

$$ 2x^2+4x+4=4x+6 $$

$$ 2x^2=2 $$

$$ x^2=1,\quad x=\pm 1. $$

Общее значение, удовлетворяющее обоим условиям, — $$x=-1$$.

Тогда члены прогрессии:

$$ 3x+4=1,\quad 2x+3=1,\quad x^2=1,\quad 2x^2+x=1. $$

Получаем последовательность $$1,\;1,\;1,\;1$$.

Ответ

$$ y=x^2+1,\quad x\ne 0; $$
при $$x=-1$$ числа $$3x+4,\;2x+3,\;x^2,\;2x^2+x$$ образуют арифметическую прогрессию, её члены равны $$1,\;1,\;1,\;1$$.