Упр.752 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- В квадрат со стороной $$a$$ вписана окружность, в окружность вписан квадрат, в этот квадрат вписана окружность, в которую снова вписан квадрат, и т. д. Найдите сумму: 1) периметров всех квадратов; 2) площадей квадратов; 3) длин окружностей; 4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями.
- При каком значении $$y$$ значения выражений $$y^2-2y$$, $$3y+5$$, $$4y+13$$ и $$2y^2-y+25$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
Обозначим через $$a_n$$ сторону очередного квадрата, а через $$r_n$$ — радиус вписанной в него окружности.
Для квадрата со стороной $$a_n$$ имеем:
$$r_n=\frac{a_n}{2}, \qquad a_{n+1}=\sqrt{2}\,r_n=\frac{a_n}{\sqrt{2}}.$$
Значит, все последовательности — геометрические, и их знаменатель равен
$$q=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
Тогда сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $$S=\frac{b_1}{1-q}$$.
1) Сумма периметров всех квадратов
Первый периметр:
$$P_1=4a.$$
Знаменатель прогрессии:
$$q=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
Тогда
$$S_P=\frac{4a}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} =\frac{4a\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} =4a(2+\sqrt{2}).$$
2) Сумма площадей квадратов
Первый член:
$$S_1=a^2,$$
знаменатель:
$$q=\frac{1}{2}.$$
Тогда
$$S_S=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=2a^2.$$
3) Сумма длин окружностей
Первая длина окружности:
$$L_1=2\pi r_1=2\pi\cdot\frac{a}{2}=\pi a.$$
Знаменатель:
$$q=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
Тогда
$$S_L=\frac{\pi a}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} =\pi a(2+\sqrt{2}).$$
4) Сумма площадей кругов
Первая площадь круга:
$$Q_1=\pi r_1^2=\pi\cdot\frac{a^2}{4}.$$
Знаменатель:
$$q=\frac{1}{2}.$$
Тогда
$$S_Q=\frac{\pi a^2/4}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\pi a^2}{2}.$$
Теперь найдём значение $$y$$, при котором числа $$y^2-2y$$, $$3y+5$$, $$4y+13$$ и $$2y^2-y+25$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Для этого средний член равен среднему арифметическому соседних:
$$3y+5=\frac{(y^2-2y)+(4y+13)}{2}.$$
Отсюда
$$6y+10=y^2+2y+13,$$
$$y^2-4y+3=0,$$
$$(y-1)(y-3)=0.$$
Получаем $$y=1$$ или $$y=3$$.
Проверим второе равенство для арифметической прогрессии:
$$4y+13=\frac{(3y+5)+(2y^2-y+25)}{2}.$$
Тогда
$$8y+26=2y^2+2y+30,$$
$$2y^2-6y+4=0,$$
$$y^2-3y+2=0,$$
$$(y-1)(y-2)=0.$$
Значит, $$y=1$$ или $$y=2$$.
Общее значение, удовлетворяющее обоим условиям, — $$y=1$$.
Тогда члены прогрессии:
$$y^2-2y=-1,\quad 3y+5=8,\quad 4y+13=17,\quad 2y^2-y+25=26.$$
Ответ
1) $$4a(2+\sqrt{2})$$; 2) $$2a^2$$; 3) $$\pi a(2+\sqrt{2})$$; 4) $$\frac{\pi a^2}{2}$$; $$y=1$$, члены прогрессии: $$-1,\ 8,\ 17,\ 26$$.
