Упр.751 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму:
1) периметров всех треугольников;
2) площадей треугольников;
3) длин окружностей;
4) площадей кругов, ограниченных данными окружностями. При каком значении у значения выражений у^2 + 1, у^2 + у и 8y — 10 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

1) Пусть радиус первой окружности равен $$R.$$

Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R,$$ его сторона равна $$a_1=\sqrt{3}R,$$ а периметр

$$P_1=3a_1=3\sqrt{3}R.$$

У правильного треугольника радиус вписанной окружности в 2 раза меньше радиуса описанной, значит для следующего треугольника

$$R_2=\frac{R}{2}, \quad a_2=\sqrt{3}R_2=\frac{\sqrt{3}R}{2}.$$

Следовательно, периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$3\sqrt{3}R$$ и знаменателем $$\frac12.$$ Тогда

$$S_P=\frac{P_1}{1-q}=\frac{3\sqrt{3}R}{1-\frac12}=6\sqrt{3}R.$$

2) Площади треугольников также образуют геометрическую прогрессию. Площадь первого треугольника:

$$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a_1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3R^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2.$$

Так как сторона каждого следующего треугольника в 2 раза меньше предыдущей, то площади уменьшаются в 4 раза, то есть $$q=\frac14.$$ Тогда

$$S_S=\frac{S_1}{1-q}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2}{1-\frac14}=\sqrt{3}R^2.$$

3) Длины окружностей образуют геометрическую прогрессию:

$$L_1=2\pi R, \quad q=\frac{1}{2}.$$

Тогда сумма длин всех окружностей равна

$$S_L=\frac{2\pi R}{1-\frac12}=4\pi R.$$

4) Площади кругов тоже образуют геометрическую прогрессию:

$$A_1=\pi R^2, \quad q=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Следовательно,

$$S_A=\frac{\pi R^2}{1-\frac14}=\frac{4}{3}\pi R^2.$$

5) Проверим, при каком значении $$y$$ числа $$y^2+1,$$ $$y^2+y,$$ $$8y-10$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии:

$$2(y^2+y)=(y^2+1)+(8y-10).$$

$$2y^2+2y=y^2+8y-9,$$

$$y^2-6y+9=0,$$

$$\left(y-3\right)^2=0,$$

$$y=3.$$

Тогда члены прогрессии:

$$y^2+1=10,\quad y^2+y=12,\quad 8y-10=14.$$

Ответ

1) $$6\sqrt{3}R$$; 2) $$\sqrt{3}R^2$$; 3) $$4\pi R$$; 4) $$\frac{4}{3}\pi R^2$$; 5) $$y=3,$$ члены прогрессии: $$10,\ 12,\ 14.$$