Упр.750 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите сумму площадей всех квадратов.
При каком значении х значения выражений х^2 — 4, 5х + 3 и Зх + 2 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Подробный ответ

1) Площади вписанных квадратов образуют геометрическую прогрессию.

Если сторона первого квадрата равна $$a,$$ то его площадь равна $$S_1=a^2.$$

У следующего квадрата вершины — середины сторон предыдущего, значит его сторона равна $$\frac{a}{\sqrt{2}},$$ а площадь

$$S_2=\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{a^2}{2}.$$

Следовательно, знаменатель прогрессии

$$q=\frac{S_2}{S_1}=\frac{1}{2}.$$

Сумма всех площадей бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{S_1}{1-q}=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=2a^2.$$

2) Пусть числа $$x^2-4,$$ $$5x+3,$$ $$3x+2$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Тогда средний член равен полусумме соседних:

$$5x+3=\frac{(x^2-4)+(3x+2)}{2}.$$

Умножим на 2:

$$10x+6=x^2+3x-2,$$

$$x^2-7x-8=0.$$

Решим уравнение:

$$D=49+32=81,$$

$$x=\frac{7\pm 9}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=-1,\quad x_2=8.$$

Найдём члены прогрессии.

При $$x=-1$$:

$$x^2-4=1-4=-3,$$