Упр.749 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, сумма двух первых членов которой в 8 раз больше суммы остальных её членов. Докажите, что числа, равные соответственно суммам углов треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и т. д., образуют арифметическую прогрессию.

Пусть первый член бесконечной геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а её знаменатель — $$q$$.

Сумма всех членов прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}$$

Сумма первых двух членов:

$$S_2=b_1+b_1q=b_1(1+q)$$

Сумма остальных членов:

$$S-S_2=\frac{b_1}{1-q}-b_1(1+q)$$

По условию:

$$S_2=8(S-S_2)$$

Подставим формулы:

$$b_1(1+q)=8\left(\frac{b_1}{1-q}-b_1(1+q)\right)$$

Так как $$b_1\neq 0$$, разделим на $$b_1$$:

$$1+q=8\left(\frac{1}{1-q}-(1+q)\right)$$

Умножим на $$1-q$$:

$$ (1+q)(1-q)=8\bigl(1-(1+q)(1-q)\bigr) $$

$$1-q^2=8q^2$$

$$1=9q^2$$

$$q^2=\frac{1}{9}$$

Следовательно,

$$q=\pm \frac{1}{3}$$

Докажем второе утверждение. Сумма углов $$n$$-угольника равна

$$S_n=180^\circ(n-2)$$

Тогда для последовательности сумм углов треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и т. д. получаем:

$$S_3=180^\circ,\quad S_4=360^\circ,\quad S_5=540^\circ,\ \ldots$$

Разность соседних членов:

$$S_{n+1}-S_n=180^\circ\bigl((n+1)-2\bigr)-180^\circ(n-2)=180^\circ$$

Разность постоянна, значит, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ

$$q=\pm \frac{1}{3}$$

Числа $$180^\circ, 360^\circ, 540^\circ, \ldots$$ образуют арифметическую прогрессию.