Упр.748 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Найдите знаменатель бесконечной геометрической прогрессии, первый член которой в 1,5 раза больше суммы остальных её членов. Каждый член арифметической прогрессии умножили на 4. Будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 merzlyak9 748 95
Пусть первый член бесконечной геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$.
Сумма всех членов прогрессии:
$$S=\frac{b_1}{1-q}$$
Сумма остальных членов равна $$S-b_1$$. По условию первый член в $$1{,}5$$ раза больше суммы остальных:
$$b_1=1{,}5(S-b_1)$$
Подставим формулу суммы:
$$b_1=1{,}5\left(\frac{b_1}{1-q}-b_1\right)$$
Так как $$b_1\neq 0$$, сократим на $$b_1$$:
$$1=1{,}5\left(\frac{1}{1-q}-1\right)$$
$$1=1{,}5\cdot \frac{q}{1-q}$$
$$1-q=1{,}5q$$
$$1=2{,}5q$$
$$q=\frac{2}{5}$$
Пусть дана арифметическая прогрессия:
$$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ a_1+3d,\dots$$
После умножения каждого члена на $$4$$ получим:
$$4a_1,\ 4(a_1+d),\ 4(a_1+2d),\ 4(a_1+3d),\dots$$
Разность соседних членов новой последовательности:
$$4(a_1+d)-4a_1=4d$$
$$4(a_1+2d)-4(a_1+d)=4d$$
Разность постоянна, значит, полученная последовательность тоже является арифметической прогрессией.
Ответ
$$q=\frac{2}{5}$$; да, будет.
