Упр.747 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Решите уравнение 1 — х^2 + х^4 — … = 16/17, если |х| < 1. Если из арифметической прогрессии, разность которой не равна нулю, исключить её члены, номера которых кратны трём, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Рассмотрим ряд

$$1-x^2+x^4-\dots$$

Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $$b_1=1$$ и знаменателем $$q=-x^2$$. Так как $$|x|<1$$, то $$|q|<1$$, и сумма такой прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-(-x^2)}=\frac{1}{1+x^2}.$$

По условию

$$\frac{1}{1+x^2}=\frac{16}{17}.$$

Решим уравнение:

$$ 17=16(1+x^2) \\ 17=16+16x^2 \\ 16x^2=1 \\ x^2=\frac{1}{16} \\ x=\pm \frac{1}{4}. $$

Оба значения удовлетворяют условию $$|x|<1$$.

Теперь рассмотрим вторую задачу. Пусть дана арифметическая прогрессия:

$$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ a_1+3d,\ a_1+4d,\ a_1+5d,\dots$$

Если исключить члены с номерами, кратными трём, то получим последовательность

$$a_1,\ a_1+d,\ a_1+3d,\ a_1+4d,\ a_1+6d,\dots$$

Проверим разности соседних членов:

$$ (a_1+d)-a_1=d, \\ (a_1+3d)-(a_1+d)=2d. $$

Так как $$d\neq 0$$, то эти разности не равны, значит, полученная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ

$$x=\pm \frac{1}{4};$$ полученная последовательность не будет арифметической прогрессией.