Упр.746 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 1 + х + х^2 + … = 4, если |х| < 1; 2) 1 - 1/x + 1/x^2 - ... = 1,5, если |x| > 1. Даны две бесконечные арифметические прогрессии. Если из каждого члена одной прогрессии вычесть соответствующий член другой, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

1) Рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии:

$$1+x+x^2+\dots=4,\quad |x|<1.$$

Здесь $$b_1=1,\ q=x,$$ поэтому

$$S=\frac{1}{1-x}.$$

Тогда

$$\frac{1}{1-x}=4,$$

$$1=4(1-x),$$

$$1=4-4x,$$

$$4x=3,$$

$$x=\frac{3}{4}.$$

2) Аналогично для второй суммы:

$$1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\dots=1{,}5,\quad |x|>1.$$

Это сумма бесконечной геометрической прогрессии, где $$b_1=1,\ q=-\frac{1}{x}.$$ Тогда

$$S=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{x}\right)}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\frac{x}{x+1}.$$

Получаем

$$\frac{x}{x+1}=1{,}5=\frac{3}{2},$$

$$2x=3(x+1),$$

$$2x=3x+3,$$

$$x=-3.$$

3) Пусть даны две арифметические прогрессии:

$$a_n=a_1+d_a(n-1),\qquad b_n=b_1+d_b(n-1).$$

Рассмотрим разность их соответствующих членов:

$$c_n=b_n-a_n=(b_1-a_1)+(d_b-d_a)(n-1).$$

Это выражение имеет вид общего члена арифметической прогрессии, значит, полученная последовательность тоже является арифметической прогрессией.

Ответ

1) $$x=\frac{3}{4}$$; 2) $$x=-3$$; да, будет арифметической прогрессией.