Упр.745 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

с3 с5 = 20 и с2 + с4 = 12корень(5). Из арифметической прогрессии исключили члены с нечётными номерами. Образуют ли оставшиеся члены арифметическую прогрессию?

Подробный ответ

Пусть $$c_n=c_1q^{n-1}$$ — геометрическая прогрессия.

Тогда из условий получаем систему:

$$ c_3c_5=20, \qquad c_2+c_4=12\sqrt5. $$

Подставим формулы членов прогрессии:

$$ (c_1q^2)(c_1q^4)=20 \;\Rightarrow\; c_1^2q^6=20, $$
$$ c_1q+c_1q^3=12\sqrt5 \;\Rightarrow\; c_1q(1+q^2)=12\sqrt5. $$

Из первого уравнения:

$$ (c_1q^3)^2=20 \;\Rightarrow\; c_1q^3=\pm 2\sqrt5. $$

Тогда из второго уравнения:

$$ \frac{1+q^2}{q^2}\cdot c_1q^3=12\sqrt5. $$

Рассмотрим случай $$c_1q^3=2\sqrt5$$:

$$ \frac{1+q^2}{q^2}\cdot 2\sqrt5=12\sqrt5 \;\Rightarrow\; \frac{1+q^2}{q^2}=6 \;\Rightarrow\; 1+q^2=6q^2 \;\Rightarrow\; 5q^2=1. $$

Отсюда

$$ q^2=\frac15,\qquad q=\pm \frac1{\sqrt5}. $$

Если $$q=\frac1{\sqrt5}$$, то

$$ c_1\left(\frac1{\sqrt5}\right)^3=2\sqrt5 \;\Rightarrow\; c_1\cdot \frac1{5\sqrt5}=2\sqrt5 \;\Rightarrow\; c_1=50. $$

Если $$q=-\frac1{\sqrt5}$$, то

$$ c_1\left(-\frac1{\sqrt5}\right)^3=2\sqrt5 \;\Rightarrow\; c_1\cdot \left(-\frac1{5\sqrt5}\right)=2\sqrt5 \;\Rightarrow\; c_1=-50. $$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$ S=\frac{c_1}{1-q}. $$

При $$q=\frac1{\sqrt5}$$:

$$ S=\frac{50}{1-\frac1{\sqrt5}} =\frac{50\sqrt5}{\sqrt5-1} =\frac{50\sqrt5(\sqrt5+1)}{5-1} =\frac{25(\sqrt5+5)}{2}. $$

При $$q=-\frac1{\sqrt5}$$:

$$ S=\frac{-50}{1+\frac1{\sqrt5}} =\frac{-50\sqrt5}{\sqrt5+1} =\frac{-50\sqrt5(\sqrt5-1)}{5-1} =\frac{25(\sqrt5-5)}{2}. $$

Во втором случае сумма получается отрицательной, но по условию требуется сумма бесконечной геометрической прогрессии, поэтому возможны оба значения, соответствующие найденным прогрессиям.

Во второй части задания: если из арифметической прогрессии исключить члены с нечётными номерами, то останутся члены

$$ a_2,\ a_4,\ a_6,\dots $$

Это тоже арифметическая прогрессия, так как разность соседних членов равна

$$ a_{2k+2}-a_{2k}=(a_1+(2k+1)d)-(a_1+(2k-1)d)=2d. $$