Упр.745 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $$\left(c_n\right)$$, если $$c_3c_5=20$$ и $$c_2+c_4=12\sqrt{5}$$.
Из арифметической прогрессии исключили члены с нечётными номерами. Образуют ли оставшиеся члены арифметическую прогрессию?

Подробный ответ

Пусть $$c_n=c_1q^{n-1}$$ — геометрическая прогрессия.

Тогда из условий получаем систему:

$$c_3c_5=20, \qquad c_2+c_4=12\sqrt5.$$

Подставим формулы членов прогрессии:

$$(c_1q^2)(c_1q^4)=20 \;\Rightarrow\; c_1^2q^6=20,$$
$$c_1q+c_1q^3=12\sqrt5 \;\Rightarrow\; c_1q(1+q^2)=12\sqrt5.$$

Из первого уравнения:

$$(c_1q^3)^2=20 \;\Rightarrow\; c_1q^3=\pm 2\sqrt5.$$

Тогда из второго уравнения:

$$\frac{1+q^2}{q^2}\cdot c_1q^3=12\sqrt5.$$

Рассмотрим случай $$c_1q^3=2\sqrt5$$:

$$\frac{1+q^2}{q^2}\cdot 2\sqrt5=12\sqrt5 \;\Rightarrow\; \frac{1+q^2}{q^2}=6 \;\Rightarrow\; 1+q^2=6q^2 \;\Rightarrow\; 5q^2=1.$$

Отсюда

$$q^2=\frac15,\qquad q=\pm \frac1{\sqrt5}.$$

Если $$q=\frac1{\sqrt5}$$, то

$$c_1\left(\frac1{\sqrt5}\right)^3=2\sqrt5 \;\Rightarrow\; c_1\cdot \frac1{5\sqrt5}=2\sqrt5 \;\Rightarrow\; c_1=50.$$

Если $$q=-\frac1{\sqrt5}$$, то

$$c_1\left(-\frac1{\sqrt5}\right)^3=2\sqrt5 \;\Rightarrow\; c_1\cdot \left(-\frac1{5\sqrt5}\right)=2\sqrt5 \;\Rightarrow\; c_1=-50.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{c_1}{1-q}.$$

При $$q=\frac1{\sqrt5}$$:

$$S=\frac{50}{1-\frac1{\sqrt5}} =\frac{50\sqrt5}{\sqrt5-1} =\frac{50\sqrt5(\sqrt5+1)}{5-1} =\frac{25(\sqrt5+5)}{2}.$$

При $$q=-\frac1{\sqrt5}$$:

$$S=\frac{-50}{1+\frac1{\sqrt5}} =\frac{-50\sqrt5}{\sqrt5+1} =\frac{-50\sqrt5(\sqrt5-1)}{5-1} =\frac{25(\sqrt5-5)}{2}.$$

Во втором случае сумма получается отрицательной, но по условию требуется сумма бесконечной геометрической прогрессии, поэтому возможны оба значения, соответствующие найденным прогрессиям.

Во второй части задания: если из арифметической прогрессии исключить члены с нечётными номерами, то останутся члены

$$a_2,\ a_4,\ a_6,\dots$$

Это тоже арифметическая прогрессия, так как разность соседних членов равна

$$a_{2k+2}-a_{2k}=(a_1+(2k+1)d)-(a_1+(2k-1)d)=2d.$$