Упр.744 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) an = 6 + 7n;
2) аn = (2n — 1)/5;
3) an = 1/n + 2?
В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

1) Пусть $$b_1=a,\ q$$ — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда

$$ b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4. $$

Из условий получаем систему:

$$ \begin{cases} b_2b_4=36,\\ b_3+b_5=8. \end{cases} $$

Подставим формулы членов прогрессии:

$$ \begin{cases} (b_1q)(b_1q^3)=36,\\ b_1q^2+b_1q^4=8. \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b_1^2q^4=36,\\ b_1q^2(1+q^2)=8. \end{cases} $$

Так как сумма бесконечной геометрической прогрессии существует, то $$|q|<1$$. Тогда из первого уравнения

$$ b_1q^2=6. $$

Подставим во второе:

$$ 6(1+q^2)=8, $$
$$ 1+q^2=\frac{4}{3}, $$
$$ q^2=\frac{1}{3}, $$
$$ q=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}. $$

Найдём первый член:

$$ b_1=\frac{6}{q^2}=\frac{6}{1/3}=18. $$

Тогда сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$ S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{18}{1-q}. $$

При $$q=\frac{1}{\sqrt{3}}$$:

$$ S=\frac{18}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=27+9\sqrt{3}. $$

При $$q=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$:

$$ S=\frac{18}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=27-9\sqrt{3}. $$

Значит,

$$ S=27\pm 9\sqrt{3}. $$

2) Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией.

Для арифметической прогрессии разность $$d=a_{n+1}-a_n$$ должна быть постоянной.

1) $$a_n=6+7n$$

$$ a_{n+1}=6+7(n+1)=6+7n+7, $$
$$ d=a_{n+1}-a_n=7. $$

Это арифметическая прогрессия, $$a_1=6+7=13$$.

2) $$a_n=\frac{2n-1}{5}$$

$$ a_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{5}=\frac{2n+1}{5}, $$
$$ d=a_{n+1}-a_n=\frac{2n+1}{5}-\frac{2n-1}{5}=\frac{2}{5}. $$

Это арифметическая прогрессия, $$a_1=\frac{2\cdot 1-1}{5}=\frac{1}{5}$$.

3) $$a_n=\frac{1}{n}+2$$

$$ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+2, $$
$$ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{n(n+1)}. $$

Разность зависит от $$n$$, значит, это не арифметическая прогрессия.

Ответ

$$ S=27\pm 9\sqrt{3}; $$
1) является, $$a_1=13,\ d=7$$; 2) является, $$a_1=\frac{1}{5},\ d=\frac{2}{5}$$; 3) не является.