Упр.744 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_2b_4=36$$ и $$b_3+b_5=8$$.
- Является ли последовательность $$(a_n)$$ арифметической прогрессией, если она задана формулой $$n$$-го члена:
1) $$a_n=6+7n$$;
2) $$a_n=\frac{2n-1}{5}$$;
3) $$a_n=\frac{1}{n}+2$$?
В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.
1) Пусть $$b_1=a,\ q$$ — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда
$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4.$$
Из условий получаем систему:
$$\begin{cases} b_2b_4=36,\\ b_3+b_5=8. \end{cases}$$
Подставим формулы членов прогрессии:
$$\begin{cases} (b_1q)(b_1q^3)=36,\\ b_1q^2+b_1q^4=8. \end{cases}$$
$$\begin{cases} b_1^2q^4=36,\\ b_1q^2(1+q^2)=8. \end{cases}$$
Так как сумма бесконечной геометрической прогрессии существует, то $$|q|<1$$. Тогда из первого уравнения
$$b_1q^2=6.$$
Подставим во второе:
$$6(1+q^2)=8,$$
$$1+q^2=\frac{4}{3},$$
$$q^2=\frac{1}{3},$$
$$q=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Найдём первый член:
$$b_1=\frac{6}{q^2}=\frac{6}{1/3}=18.$$
Тогда сумма бесконечной геометрической прогрессии:
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{18}{1-q}.$$
При $$q=\frac{1}{\sqrt{3}}$$:
$$S=\frac{18}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=27+9\sqrt{3}.$$
При $$q=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$:
$$S=\frac{18}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=27-9\sqrt{3}.$$
Значит,
$$S=27\pm 9\sqrt{3}.$$
2) Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией.
Для арифметической прогрессии разность $$d=a_{n+1}-a_n$$ должна быть постоянной.
1) $$a_n=6+7n$$
$$a_{n+1}=6+7(n+1)=6+7n+7,$$
$$d=a_{n+1}-a_n=7.$$
Это арифметическая прогрессия, $$a_1=6+7=13$$.
2) $$a_n=\frac{2n-1}{5}$$
$$a_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{5}=\frac{2n+1}{5},$$
$$d=a_{n+1}-a_n=\frac{2n+1}{5}-\frac{2n-1}{5}=\frac{2}{5}.$$
Это арифметическая прогрессия, $$a_1=\frac{2\cdot 1-1}{5}=\frac{1}{5}$$.
3) $$a_n=\frac{1}{n}+2$$
$$a_{n+1}=\frac{1}{n+1}+2,$$
$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{n(n+1)}.$$
Разность зависит от $$n$$, значит, это не арифметическая прогрессия.
Ответ
$$S=27\pm 9\sqrt{3};$$
1) является, $$a_1=13,\ d=7$$; 2) является, $$a_1=\frac{1}{5},\ d=\frac{2}{5}$$; 3) не является.
