Упр.743 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии. Является ли последовательность (an) арифметической прогрессией, если она задана формулой n-го члена:
1) аn = -6n + 3;
2) аn = 2n^2 — n;
3) аn = -2,8n;
4) аn = n/(n + 1)?
В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

Подробный ответ

Для бесконечной геометрической прогрессии
$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$
По условию
$$256=\frac{b_1}{1-q}.$$
Тогда
$$b_1=256(1-q).$$
Сумма первых трёх членов:
$$S_3=\frac{b_1(1-q^3)}{1-q}=252.$$
Подставим найденное выражение для $b_1$:
$$256(1-q)\cdot \frac{1-q^3}{1-q}=252,$$
$$256(1-q^3)=252,$$
$$1-q^3=\frac{252}{256}=\frac{63}{64},$$
$$q^3=\frac{1}{64},$$
$$q=\frac{1}{4}.$$
Тогда
$$b_1=256\left(1-\frac{1}{4}\right)=256\cdot \frac{3}{4}=192.$$
Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией.
1) $$a_n=-6n+3.$$
$$a_{n+1}=-6(n+1)+3=-6n-3,$$
$$d=a_{n+1}-a_n=(-6n-3)-(-6n+3)=-6.$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
$$a_1=-6\cdot 1+3=-3.$$
2) $$a_n=2n^2-n.$$
$$a_{n+1}=2(n+1)^2-(n+1)=2n^2+3n+1,$$
$$d=a_{n+1}-a_n=(2n^2+3n+1)-(2n^2-n)=4n+1.$$
Разность зависит от $n$, значит, это не арифметическая прогрессия.
3) $$a_n=-2{,}8n.$$
$$a_{n+1}=-2{,}8(n+1)=-2{,}8n-2{,}8,$$
$$d=a_{n+1}-a_n=(-2{,}8n-2{,}8)-(-2{,}8n)=-2{,}8.$$
Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
$$a_1=-2{,}8.$$
4) $$a_n=\frac{n}{n+1}.$$
$$a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2},$$
$$d=a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}.$$
Разность зависит от $n$, значит, это не арифметическая прогрессия.