Упр.743 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $$256$$, а сумма трёх её первых членов равна $$252$$. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.
2. Является ли последовательность $$(a_n)$$ арифметической прогрессией, если она задана формулой $$n$$-го члена:
   1) $$a_n=-6n+3$$;
   2) $$a_n=2n^2-n$$;
   3) $$a_n=-2{,}8n$$;
   4) $$a_n=\frac{n}{n+1}$$?
   В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

1. Для бесконечной геометрической прогрессии
   $$S=\frac{b_1}{1-q}.$$
   По условию
   $$256=\frac{b_1}{1-q}.$$
   Тогда
   $$b_1=256(1-q).$$

   Сумма первых трёх членов:
   $$S_3=\frac{b_1(1-q^3)}{1-q}=252.$$
   Подставим найденное выражение для $$b_1$$:
   $$256(1-q)\cdot \frac{1-q^3}{1-q}=252,$$
   $$256(1-q^3)=252,$$
   $$1-q^3=\frac{252}{256}=\frac{63}{64},$$
   $$q^3=\frac{1}{64},$$
   $$q=\frac{1}{4}.$$

   Тогда
   $$b_1=256\left(1-\frac{1}{4}\right)=256\cdot \frac{3}{4}=192.$$

2. Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией.

   1) $$a_n=-6n+3.$$

   $$a_{n+1}=-6(n+1)+3=-6n-3,$$
   $$d=a_{n+1}-a_n=(-6n-3)-(-6n+3)=-6.$$
   Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
   $$a_1=-6\cdot 1+3=-3.$$

   2) $$a_n=2n^2-n.$$

   $$a_{n+1}=2(n+1)^2-(n+1)=2n^2+3n+1,$$
   $$d=a_{n+1}-a_n=(2n^2+3n+1)-(2n^2-n)=4n+1.$$
   Разность зависит от $$n$$, значит, это не арифметическая прогрессия.

   3) $$a_n=-2{,}8n.$$

   $$a_{n+1}=-2{,}8(n+1)=-2{,}8n-2{,}8,$$
   $$d=a_{n+1}-a_n=(-2{,}8n-2{,}8)-(-2{,}8n)=-2{,}8.$$
   Разность постоянна, значит, это арифметическая прогрессия.
   $$a_1=-2{,}8.$$

   4) $$a_n=\frac{n}{n+1}.$$

   $$a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2},$$
   $$d=a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}.$$
   Разность зависит от $$n$$, значит, это не арифметическая прогрессия.

Ответ

$$b_1=192,\quad q=\frac{1}{4}.$$

1) Да, $$a_1=-3,\ d=-6.$$

2) Нет.

3) Да, $$a_1=-2{,}8,\ d=-2{,}8.$$

4) Нет.