Упр.741 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Покажите, что если S является суммой бесконечной геометрической прогрессии (bn), то S/(S — b1) = b1/b2. Верно ли утверждение: если длины сторон выпуклого четырёхугольника (рис. 102), взятые в последовательности a, b, d и с, образуют арифметическую прогрессию, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность?

Пусть $$S$$ — сумма бесконечной геометрической прогрессии $$b_n$$. Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}, \qquad b_2=b_1q.$$

Найдём левую часть:

$$ \frac{S}{S-b_1} = \frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1}{1-q}-b_1} = \frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1-b_1(1-q)}{1-q}} = \frac{\frac{b_1}{1-q}}{\frac{b_1q}{1-q}} = \frac{1}{q}. $$

Так как $$b_2=b_1q$$, то

$$\frac{b_1}{b_2}=\frac{b_1}{b_1q}=\frac{1}{q}.$$

Следовательно,

$$\frac{S}{S-b_1}=\frac{b_1}{b_2}.$$

Теперь рассмотрим второе утверждение. Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны:

$$a+c=b+d.$$

Пусть стороны четырёхугольника образуют арифметическую прогрессию:

$$b=a+x,\qquad c=a+2x,\qquad d=a+3x.$$

Тогда

$$a+c=a+(a+2x)=2a+2x,$$

$$b+d=(a+x)+(a+3x)=2a+4x.$$

Равенство $$a+c=b+d$$ возможно только при $$2a+2x=2a+4x$$, откуда $$x=0$$. Но тогда все стороны равны, то есть это ромб. Значит, утверждение верно не для любого выпуклого четырёхугольника с сторонами, образующими арифметическую прогрессию.

Ответ

$$\frac{S}{S-b_1}=\frac{b_1}{b_2}.$$ Утверждение о четырёхугольнике неверно; окружность можно вписать только в случае, когда все стороны равны, то есть в ромб.