Упр.740 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) b2 = 54, b5 = 2;
2) b2 — b4 = 48, b1 — b3 = 240. Докажите, что значения выражений (а + b)^2, а^2 + b^2, (а — b)^2 являются последовательными членами арифметической прогрессии.

1) Для геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}$$ имеем:

$$b_5=b_2q^3$$
$$q^3=\frac{b_5}{b_2}=\frac{2}{54}=\frac{1}{27}$$
$$q=\frac{1}{3}$$

Тогда

$$b_2=b_1q$$
$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{54}{1/3}=162$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{162}{1-\frac{1}{3}}=\frac{162}{\frac{2}{3}}=243$$

2) Составим систему:

$$b_2-b_4=48,\qquad b_1-b_3=240$$

Так как $$b_2=b_1q,\; b_3=b_1q^2,\; b_4=b_1q^3,$$ получаем:

$$b_1q-b_1q^3=48$$
$$b_1-b_1q^2=240$$

Вынесем общий множитель:

$$b_1q(1-q^2)=48$$
$$b_1(1-q^2)=240$$

Делим первое уравнение на второе:

$$q=\frac{48}{240}=\frac{1}{5}$$

Теперь найдём $$b_1$$:

$$b_1(1-q^2)=240$$
$$b_1\left(1-\frac{1}{25}\right)=240$$
$$b_1\cdot \frac{24}{25}=240$$
$$b_1=250$$

Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{250}{1-\frac{1}{5}}=\frac{250}{\frac{4}{5}}=312{,}5$$

Докажем, что $$\left(a+b\right)^2,\; a^2+b^2,\; \left(a-b\right)^2$$ — последовательные члены арифметической прогрессии.

Для этого достаточно проверить, что средний член равен среднему арифметическому соседних:

$$\frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2}$$
$$=\frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{2}$$
$$=\frac{2a^2+2b^2}{2}=a^2+b^2$$

Значит, числа $$\left(a+b\right)^2,\; a^2+b^2,\; \left(a-b\right)^2$$ действительно являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ

1) $$243$$; 2) $$312{,}5$$; $$\left(a+b\right)^2,\; a^2+b^2,\; \left(a-b\right)^2$$ — члены арифметической прогрессии.