Упр.74 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 9 класс, Просвещение: Докажите тождество: b/(b-c)-c/(b+c)+2bc/(b^2-c^2)=(b+c)/(b-c). Известно, что а > 5 и b < 2. Докажите, что 6а - 7b > 16.

Докажем тождество:

$$\frac{b}{b-c}-\frac{c}{b+c}+\frac{2bc}{b^2-c^2}=\frac{b+c}{b-c}.$$

Так как $$b^2-c^2=(b-c)(b+c),$$ приведём левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{b}{b-c}-\frac{c}{b+c}+\frac{2bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{b(b+c)-c(b-c)+2bc}{(b-c)(b+c)}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ b(b+c)-c(b-c)+2bc=b^2+bc-bc+c^2+2bc=b^2+2bc+c^2=(b+c)^2. $$

Тогда

$$ \frac{b^2+2bc+c^2}{(b-c)(b+c)}=\frac{(b+c)^2}{(b-c)(b+c)}=\frac{b+c}{b-c}. $$

Тождество доказано.

Докажем неравенство: если $$a>5$$ и $$b<2,$$ то $$6a-7b>16.$$

Из $$a>5$$ умножением на $$6>0$$ получаем:

$$6a>30.$$

Из $$b<2$$ умножением на $$-7<0$$ знак неравенства меняется:

$$-7b>-14.$$

Сложим полученные неравенства:

$$ 6a-7b>30+(-14)=16. $$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{b}{b-c}-\frac{c}{b+c}+\frac{2bc}{b^2-c^2}=\frac{b+c}{b-c}, \qquad 6a-7b>16.$$