Упр.74 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: $$\frac{b}{b-c}-\frac{c}{b+c}+\frac{2bc}{b^2-c^2}=\frac{b+c}{b-c}.$$
2. Известно, что $$a>5$$ и $$b<2$$. Докажите, что $$6a-7b>16.$$

Докажем тождество:

$$\frac{b}{b-c}-\frac{c}{b+c}+\frac{2bc}{b^2-c^2}=\frac{b+c}{b-c}.$$

Так как $$b^2-c^2=(b-c)(b+c),$$ приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{b}{b-c}-\frac{c}{b+c}+\frac{2bc}{(b-c)(b+c)} = \frac{b(b+c)-c(b-c)+2bc}{(b-c)(b+c)}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$b(b+c)-c(b-c)+2bc=b^2+bc-bc+c^2+2bc=b^2+2bc+c^2=(b+c)^2.$$

Тогда

$$\frac{b^2+2bc+c^2}{(b-c)(b+c)}=\frac{(b+c)^2}{(b-c)(b+c)}=\frac{b+c}{b-c}.$$

Тождество доказано.

Докажем неравенство: если $$a>5$$ и $$b<2,$$ то $$6a-7b>16.$$

Из $$a>5$$ умножением на $$6>0$$ получаем:

$$6a>30.$$

Из $$b<2$$ умножением на $$-7<0$$ знак неравенства меняется:

$$-7b>-14.$$

Сложим полученные неравенства:

$$6a-7b>30+(-14)=16.$$

Неравенство доказано.

Ответ

$$\frac{b}{b-c}-\frac{c}{b+c}+\frac{2bc}{b^2-c^2}=\frac{b+c}{b-c}, \qquad 6a-7b>16.$$