Упр.739 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если:
   1) $$b_3=4,\ b_5=2$$;
   2) $$b_1+b_3=20,\ b_2+b_4=\frac{20}{3}$$.
2. В каких случаях для членов арифметической прогрессии выполняется равенство $$a_1a_4=a_2^2$$?

1. Для бесконечной геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}$$ и $$S=\dfrac{b_1}{1-q}$$, где $$|q|<1$$.

   1) Из условий $$b_3=4$$, $$b_5=2$$ получаем:

   $$b_5=b_3q^2,\quad q^2=\frac{b_5}{b_3}=\frac{2}{4}=\frac12,$$

   значит, $$q=\pm \frac{1}{\sqrt2}$$.

   Найдём первый член:

   $$b_3=b_1q^2,\quad b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{4}{1/2}=8.$$

   Тогда сумма бесконечной прогрессии:

   $$S=\frac{8}{1-q}.$$

   При $$q=\frac{1}{\sqrt2}$$:

   $$S=\frac{8}{1-\frac{1}{\sqrt2}}=16+8\sqrt2.$$

   При $$q=-\frac{1}{\sqrt2}$$:

   $$S=\frac{8}{1+\frac{1}{\sqrt2}}=16-8\sqrt2.$$

2. 2) Из условий $$b_1+b_3=20$$, $$b_2+b_4=\frac{20}{3}$$ составим систему:

   $$\begin{cases} b_1+b_1q^2=20,\\ b_1q+b_1q^3=\frac{20}{3}. \end{cases}$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\begin{cases} b_1(1+q^2)=20,\\ b_1q(1+q^2)=\frac{20}{3}. \end{cases}$$

   Делим второе уравнение на первое:

   $$q=\frac{20/3}{20}=\frac13.$$

   Тогда

   $$b_1(1+\frac19)=20,\quad b_1\cdot \frac{10}{9}=20,\quad b_1=18.$$

   Сумма бесконечной прогрессии:

   $$S=\frac{18}{1-\frac13}=\frac{18}{\frac23}=27.$$

Ответ

1) $$S=16+8\sqrt2$$ или $$S=16-8\sqrt2$$; 2) $$S=27$$.

Для арифметической прогрессии равенство $$a_1a_4=a_2^2$$ выполняется при $$d=0$$ или $$a_1=d$$.