Упр.738 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2026 года. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $$-60$$, а её первый член равен $$-65$$. Найдите знаменатель прогрессии.
- Задание учебника 2021 года. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $$\left(a_n\right)$$, если:
1) $$a_5+a_{12}=41$$ и $$a_{10}+a_{14}=62$$;
2) $$a_7+a_{13}=-104$$ и $$a_2\cdot a_6=-240$$.
Для бесконечной геометрической прогрессии используем формулу суммы:
$$S=\frac{b_1}{1-q}$$
Подставим данные:
$$-60=\frac{-65}{1-q}$$
$$1-q=\frac{-65}{-60}=\frac{13}{12}$$
$$q=1-\frac{13}{12}=-\frac{1}{12}$$
1) $$a_5+a_{12}=41,\quad a_{10}+a_{14}=62$$
Для арифметической прогрессии $$a_n=a_1+d(n-1)$$, значит:
$$a_1+4d+a_1+11d=41$$
$$a_1+9d+a_1+13d=62$$
Получаем систему:
$$2a_1+15d=41$$
$$2a_1+22d=62$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$7d=21,\quad d=3$$
Тогда
$$2a_1+15\cdot 3=41$$
$$2a_1=-4,\quad a_1=-2$$
2) $$a_7+a_{13}=-104,\quad a_2\cdot a_6=-240$$
Составим уравнения:
$$a_1+6d+a_1+12d=-104$$
$$\left(a_1+d\right)\left(a_1+5d\right)=-240$$
Из первого:
$$2a_1+18d=-104$$
$$a_1=-52-9d$$
Подставим во второе:
$$(-52-8d)(-52-4d)=-240$$
$$4(13+2d)(13+d)=-240$$
$$(13+2d)(13+d)=-60$$
$$169+39d+2d^2=-60$$
$$2d^2+39d+229=0$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=39^2-4\cdot 2\cdot 229=1521-1832=-311$$
Дискриминант отрицателен, значит, действительных значений $$d$$ нет. Проверим вычисления в преобразовании:
$$(-52-8d)(-52-4d)=2704+416d+208d+32d^2$$
$$32d^2+624d+2704=-240$$
$$32d^2+624d+2944=0$$
$$2d^2+39d+184=0$$
$$D=39^2-4\cdot 2\cdot 184=49$$
$$d=\frac{-39\pm 7}{4}$$
$$d_1=-8,\quad d_2=-\frac{23}{2}$$
Найдём соответствующие значения $$a_1$$:
$$a_1=-52-9d$$
Если $$d=-8$$, то
$$a_1=-52-9\cdot(-8)=20$$
Если $$d=-\frac{23}{2}$$, то
$$a_1=-52-9\cdot\left(-\frac{23}{2}\right)=\frac{103}{2}=51{,}5$$
Ответ
$$q=-\frac{1}{12}$$
1) $$a_1=-2,\ d=3$$
2) $$a_1=20,\ d=-8$$ или $$a_1=51{,}5,\ d=-\frac{23}{2}$$
