Упр.737 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) а3 + а7 = 30 и а6 + а16 = 60;
2) а4 + a10 = 36 и а5 * а11 = 340.

1) Для бесконечной геометрической прогрессии используем формулу суммы:

$$S=\frac{b_1}{1-q}$$

Тогда

$$b_1=S(1-q)=63\left(1-\frac{4}{9}\right)=63\cdot\frac{5}{9}=35.$$

Первый член прогрессии равен $$35$$.

2) Найдём первый член и разность арифметической прогрессии.

1) $$a_3+a_7=30,\quad a_6+a_{16}=60.$$

По формуле $$a_n=a_1+d(n-1)$$ получаем:

$$a_1+2d+a_1+6d=30,$$

$$a_1+5d+a_1+15d=60.$$

То есть

$$2a_1+8d=30,$$

$$2a_1+20d=60.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$12d=30,\quad d=\frac{30}{12}=\frac{5}{2}=2{,}5.$$

Тогда

$$2a_1+8\cdot2{,}5=30,$$

$$2a_1=10,\quad a_1=5.$$

2) $$a_4+a_{10}=36,\quad a_5\cdot a_{11}=340.$$

Составим уравнения:

$$a_1+3d+a_1+9d=36,$$

$$\left(a_1+4d\right)\left(a_1+10d\right)=340.$$

Из первого уравнения:

$$2a_1+12d=36,\quad a_1=18-6d.$$

Подставим во второе:

$$\left(18-6d+4d\right)\left(18-6d+10d\right)=340,$$

$$\left(18-2d\right)\left(18+4d\right)=340,$$

$$324+72d-36d-8d^2=340,$$

$$2d^2-9d+4=0.$$

Найдём корни:

$$D=9^2-4\cdot2\cdot4=49,$$

$$d=\frac{9\pm7}{4}.$$

Отсюда

$$d_1=4,\quad d_2=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$a_1=18-6\cdot4=-6,$$

или

$$a_1=18-6\cdot\frac{1}{2}=15.$$

Ответ

1) $$35$$.

2) $$a_1=5,\ d=2{,}5;\quad a_1=-6,\ d=4;\quad a_1=15,\ d=\frac{1}{2}.$$