Упр.736 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) корень(3/2), 1, корень(2/3), …;
2) (корень(2) + 1)/(корень(2) — 1), 1/(2 — корень(2)), 1/2, … . Какие четыре числа надо вставить между числами 4 и -5, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию?

Подробный ответ

Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии $$\sqrt{\frac{3}{2}},\ 1,\ \sqrt{\frac{2}{3}},\ldots$$
Здесь $$b_1=\sqrt{\frac{3}{2}},\quad q=\frac{1}{\sqrt{3/2}}=\sqrt{\frac{2}{3}}.$$
Тогда
$$ S=\frac{b_1}{1-q} =\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{1-\sqrt{\frac{2}{3}}} =\frac{3}{2}(\sqrt{6}+2). $$
Для прогрессии $$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\ \frac{1}{2-\sqrt{2}},\ \frac{1}{2},\ldots$$
имеем
$$b_1=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1},\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{2+\sqrt{2}}.$$
Тогда
$$ S=\frac{b_1}{1-q} =\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}}{1-\frac{1}{2+\sqrt{2}}} =3\sqrt{2}+4. $$
Пусть между числами $$4$$ и $$-5$$ вставлены четыре числа, тогда получится арифметическая прогрессия из шести членов:
$$4,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ -5.$$
Разность прогрессии:
$$ d=\frac{a_6-a_1}{5}=\frac{-5-4}{5}=-\frac{9}{5}=-1{,}8. $$
Находим вставленные числа:
$$ a_2=4-1{,}8=2{,}2,\quad a_3=2{,}2-1{,}8=0{,}4, $$
$$ a_4=0{,}4-1{,}8=-1{,}4,\quad a_5=-1{,}4-1{,}8=-3{,}2. $$