Упр.735 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
   1) $$\sqrt{2},\ -1,\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ldots$$;
   2) $$3\sqrt{3},\ 3,\ \sqrt{3},\ldots$$;
   3) $$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1},\ 1,\ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1},\ldots$$.
2. Между числами $$-6$$ и $$3$$ вставьте пять таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.

1. Для бесконечной геометрической прогрессии используем формулу суммы:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$

   1) $$\sqrt{2},\ -1,\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ldots$$

   $$b_1=\sqrt{2}, \quad q=\frac{-1}{\sqrt{2}}.$$

   $$S=\frac{\sqrt{2}}{1-\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)} =\frac{\sqrt{2}}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}} =\frac{2}{\sqrt{2}+1} =2(\sqrt{2}-1).$$

2. 2) $$3\sqrt{3},\ 3,\ \sqrt{3},\ldots$$

   $$b_1=3\sqrt{3}, \quad q=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

   $$S=\frac{3\sqrt{3}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} =\frac{9}{\sqrt{3}-1} =\frac{9(\sqrt{3}+1)}{2} =\frac{9}{2}(\sqrt{3}+1).$$

3. 3) $$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1},\ 1,\ \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1},\ldots$$

   $$b_1=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}, \quad q=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.$$

   $$S=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}{1-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}} =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\cdot\frac{\sqrt{3}+1}{2} =\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2(\sqrt{3}-1)}.$$

   $$\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2(\sqrt{3}-1)} =\frac{4+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} =\frac{(4+2\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{2} =\frac{3\sqrt{3}+5}{2}.$$

Ответ

$$2(\sqrt{2}-1);\ \frac{9}{2}(\sqrt{3}+1);\ \frac{3\sqrt{3}+5}{2}.$$