Упр.734 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1) 0,222…;
2) 0,666…;
3) 0,(28);
4) 0,1777…;
5) 3,454545…;
6) 1,4(12).
Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии 7,2; 6,6; 6; … .

Представим каждую бесконечную периодическую дробь в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии и воспользуемся формулой

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

1. $$0,222\ldots=0,2+0,02+0,002+\ldots$$

   $$b_1=0,2,\quad q=\frac{0,02}{0,2}=0,1.$$

   $$0,222\ldots=\frac{0,2}{1-0,1}=\frac{0,2}{0,9}=\frac{2}{9}.$$

2. $$0,666\ldots=0,6+0,06+0,006+\ldots$$

   $$b_1=0,6,\quad q=\frac{0,06}{0,6}=0,1.$$

   $$0,666\ldots=\frac{0,6}{1-0,1}=\frac{0,6}{0,9}=\frac{2}{3}.$$

3. $$0,(28)=0,28+0,0028+0,000028+\ldots$$

   $$b_1=0,28,\quad q=\frac{0,0028}{0,28}=0,01.$$

   $$0,(28)=\frac{0,28}{1-0,01}=\frac{0,28}{0,99}=\frac{28}{99}.$$

4. $$0,1777\ldots=0,1+0,07+0,007+0,0007+\ldots$$

   $$b_1=0,07,\quad q=\frac{0,007}{0,07}=0,1.$$

   $$0,1777\ldots=0,1+\frac{0,07}{1-0,1}=0,1+\frac{0,07}{0,9}=\frac{8}{45}.$$

5. $$3,454545\ldots=3+0,45+0,0045+0,000045+\ldots$$

   $$b_1=0,45,\quad q=\frac{0,0045}{0,45}=0,01.$$

   $$3,454545\ldots=3+\frac{0,45}{1-0,01}=3+\frac{0,45}{0,99}=3+\frac{5}{11}=\frac{38}{11}.$$

6. $$1,4(12)=1,4+0,012+0,00012+\ldots$$

   $$b_1=0,012,\quad q=\frac{0,00012}{0,012}=0,01.$$

   $$1,4(12)=\frac{14}{10}+\frac{0,012}{1-0,01}=\frac{7}{5}+\frac{0,012}{0,99}=\frac{7}{5}+\frac{2}{165}=\frac{233}{165}.$$

Найдём первый отрицательный член арифметической прогрессии $$7,2;\ 6,6;\ 6;\ldots$$

$$a_1=7,2,\quad d=6,6-7,2=-0,6.$$

Общий член прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1)=7,2-0,6(n-1).$$

Ищем наименьшее $$n$$, при котором $$a_n<0$$:

$$7,2-0,6(n-1)<0$$

$$0,6(n-1)>7,2$$

$$n-1>12$$

$$n>13.$$

Значит, первый отрицательный член — это $$a_{14}$$:

$$a_{14}=7,2-0,6\cdot 13=7,2-7,8=-0,6.$$

Ответ

$$\frac{2}{9};\ \frac{2}{3};\ \frac{28}{99};\ \frac{8}{45};\ \frac{38}{11};\ \frac{233}{165};\ -0,6.$$