Упр.733 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

Задача

1) 0,1111…;
2) 0,(5);
3) 0,(24);
4) 0,416416416…;
5) 0,2666…;
6) 0,6252525…;
7) 1,181818…;
8) 2,3(36).
Какой номер у первого положительного члена арифметической прогрессии -10,2; -9,5; -8,8; … ?

Подробный ответ

$$0,1111\ldots = 0,1+0,01+0,001+\ldots$$
Это бесконечная геометрическая прогрессия, где $$b_1=0,1$$, $$q=0,1$$.
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0,1}{1-0,1}=\frac{0,1}{0,9}=\frac{1}{9}$$
$$0,(5)=0,5555\ldots = 0,5+0,05+0,005+\ldots$$
$$b_1=0,5,\quad q=0,1$$
$$S=\frac{0,5}{1-0,1}=\frac{0,5}{0,9}=\frac{5}{9}$$
$$0,(24)=0,242424\ldots = 0,24+0,0024+0,000024+\ldots$$
$$b_1=0,24,\quad q=0,01$$
$$S=\frac{0,24}{1-0,01}=\frac{0,24}{0,99}=\frac{24}{99}=\frac{8}{33}$$
$$0,416416416\ldots = 0,416+0,000416+0,000000416+\ldots$$
$$b_1=0,416,\quad q=0,001$$
$$S=\frac{0,416}{1-0,001}=\frac{0,416}{0,999}=\frac{416}{999}$$
$$0,2666\ldots = 0,2+0,06+0,006+0,0006+\ldots$$
Первые два слагаемых: $$0,2+\left(0,06+0,006+0,0006+\ldots\right)$$.
Для бесконечной части $$b_1=0,06,\quad q=0,1$$, значит
$$0,06+0,006+0,0006+\ldots=\frac{0,06}{1-0,1}=\frac{0,06}{0,9}=\frac{1}{15}$$
Тогда
$$0,2666\ldots = 0,2+\frac{1}{15}=\frac{1}{5}+\frac{1}{15}=\frac{4}{15}$$
$$0,6252525\ldots = 0,6+0,025+0,00025+0,0000025+\ldots$$
$$b_1=0,025,\quad q=0,01$$
$$0,025+0,00025+0,0000025+\ldots=\frac{0,025}{1-0,01}=\frac{0,025}{0,99}=\frac{25}{990}=\frac{5}{198}$$
Тогда
$$0,6252525\ldots = 0,6+\frac{5}{198}=\frac{3}{5}+\frac{5}{198}=\frac{619}{990}$$
$$1,181818\ldots = 1+0,18+0,0018+0,000018+\ldots$$
$$b_1=0,18,\quad q=0,01$$
$$0,18+0,0018+0,000018+\ldots=\frac{0,18}{1-0,01}=\frac{0,18}{0,99}=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}$$
Тогда
$$1,181818\ldots = 1+\frac{2}{11}=\frac{13}{11}$$
$$2,3(36)=2,3363636\ldots = 2,3+0,036+0,00036+0,0000036+\ldots$$
$$b_1=0,036,\quad q=0,01$$
$$0,036+0,00036+0,0000036+\ldots=\frac{0,036}{1-0,01}=\frac{0,036}{0,99}=\frac{36}{990}=\frac{2}{55}$$
Тогда
$$2,3(36)=2,3+\frac{2}{55}=\frac{23}{10}+\frac{2}{55}=\frac{257}{110}$$