Упр.722 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Найдите количество членов конечной геометрической прогрессии, знаменатель которой $$q=3$$, последний член $$c_n=162$$, а сумма всех членов $$S_n=242$$.
2. Найдите разность арифметической прогрессии $$(x_n)$$, если $$x_1=2$$, $$x_2=-47$$.

1) Для геометрической прогрессии используем формулы

$$c_n=c_1q^{n-1}, \qquad S_n=\frac{c_1(q^n-1)}{q-1}.$$

Из формулы для последнего члена:

$$c_1=\frac{c_n}{q^{n-1}}.$$

Подставим это в формулу суммы:

$$242=\frac{162}{3^{n-1}}\cdot \frac{3^n-1}{3-1}.$$

Тогда

$$242=\frac{162(3^n-1)}{2\cdot 3^{n-1}}.$$

Умножим на $$2\cdot 3^{n-1}$$:

$$484\cdot 3^{n-1}=162(3^n-1).$$

Так как $$3^n=3\cdot 3^{n-1},$$ получаем

$$484\cdot 3^{n-1}=162\cdot 3\cdot 3^{n-1}-162,$$

$$484\cdot 3^{n-1}=486\cdot 3^{n-1}-162,$$

$$2\cdot 3^{n-1}=162,$$

$$3^{n-1}=81=3^4,$$

откуда $$n-1=4,$$ значит $$n=5.$$

2) Для арифметической прогрессии используем формулу

$$x_n=x_1+d(n-1).$$

Подставим $$x_1=2$$ и $$x_8=-47$$:

$$-47=2+7d,$$

$$7d=-49,$$

$$d=-7.$$

Ответ

$$5; \ -7$$