Упр.721 ГДЗ Мерзляк 9 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество $$a^{2n+1}+1=(a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1)$$.
2. Найдите разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если $$a_8=3,\quad a_9=-12$$.

Докажем тождество:

$$a^{2n+1}+1=(a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1).$$

Рассмотрим правую часть. Множитель в скобках — это сумма геометрической прогрессии с первым членом $$a^{2n}$$ и знаменателем $$-\frac{1}{a}$$:

$$a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1.$$

Тогда

$$a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1 = \frac{a^{2n+1}+1}{a+1}.$$

Следовательно,

$$(a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1) = (a+1)\cdot \frac{a^{2n+1}+1}{a+1} = a^{2n+1}+1.$$

Тождество доказано.

Найдём разность арифметической прогрессии, если $$a_8=3$$, $$a_9=-12$$. Для арифметической прогрессии

$$a_{n+1}=a_n+d.$$

Тогда

$$d=a_9-a_8=-12-3=-15.$$

Ответ

$$a^{2n+1}+1=(a+1)(a^{2n}-a^{2n-1}+\dots+a^2-a+1), \quad d=-15.$$